Страница 127 номер 542, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой отношение десятого члена к восьмому в 5 раз больше отношения одиннадцатого члена к десятому.
\(b_{10} = b_9 \cdot q = b_8 \cdot q^2\), \(b_{11} = b_{10} \cdot q\). Члены прогрессии отличны от нуля, поэтому \(\frac{b_{10}}{b_8} = q^2\), \(\frac{b_{11}}{b_{10}} = q\), и по условию \[\begin{aligned} q^2 &= 5q; \\ q^2 - 5q &= 0; \\ q(q - 5) &= 0. \end{aligned}\]
Корни уравнения: \(q = 0\), \(q = 5\). Знаменатель прогрессии отличен от нуля, поэтому \(q = 0\) не подходит. Следовательно, \(q = 5\).
Ответ: \(q = 5\).
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой отношение десятого члена к восьмому в 5 раз больше отношения одиннадцатого члена к десятому.
Обозначим геометрическую прогрессию через \((b_n)\), а её знаменатель — через \(q\). Каждый член прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и знаменателя, поэтому \(b_{10} = b_9 \cdot q = b_8 \cdot q^2\) и \(b_{11} = b_{10} \cdot q\). Члены прогрессии отличны от нуля, значит, \(\frac{b_{10}}{b_8} = q^2\) и \(\frac{b_{11}}{b_{10}} = q\). По условию первое отношение в 5 раз больше второго: \[\begin{aligned} q^2 &= 5q; \\ q^2 - 5q &= 0; \\ q(q - 5) &= 0. \end{aligned}\] Корни уравнения: \(q = 0\), \(q = 5\). Знаменатель геометрической прогрессии по определению отличен от нуля, поэтому \(q = 0\) не подходит. Следовательно, \(q = 5\).
Ответ: \(q = 5\).
