Страница 112 номер 479, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Каждый член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего на 5. Это значит, что \(a_2 = a_1 + 5\), \(a_3 = a_2 + 5\), \(a_4 = a_3 + 5\) и т. д. Следовательно, последовательность \((a_n)\) рекуррентным способом задаётся условием \(a_1 = 5\), \(a_{n+1} = a_n + 5\).

б) Известно, что \(a_1 = 5\). Найдём следующие четыре члена по формуле \(a_{n+1} = a_n + 5\): \[\begin{aligned} a_2 &= a_1 + 5 = 5 + 5 = 10; \\ a_3 &= a_2 + 5 = 10 + 5 = 15; \\ a_4 &= a_3 + 5 = 15 + 5 = 20; \\ a_5 &= a_4 + 5 = 20 + 5 = 25. \end{aligned}\]

в) Первый член последовательности равен 5, а каждый член, начиная со второго, больше предыдущего на 5. Следовательно, данная последовательность представляет собой последовательность всех натуральных чисел, кратных 5, расположенных в порядке возрастания. Любое натуральное число, кратное 5, записывается в виде \(5n\), где \(n\) — натуральное число, поэтому \(a_n = 5n\).

Убедимся, что формула \(a_n = 5n\) задаёт ту же последовательность. По ней \(a_1 = 5 \cdot 1 = 5\), а подставив \(n + 1\) вместо \(n\), получим \(a_{n+1} = 5(n + 1) = 5n + 5 = a_n + 5\), то есть каждый член, начиная со второго, больше предыдущего на 5.

Ответ: а) \(a_1 = 5\), \(a_{n+1} = a_n + 5\); б) \(5\); \(10\); \(15\); \(20\); \(25\); в) \(a_n = 5n\).