Страница 112 номер 476, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Первый член последовательности \((a_n)\) равен 4, и каждый её член, начиная со второго, противоположен по знаку предыдущему. а) Задайте последовательность рекуррентным способом. б) Найдите сумму первых десяти членов последовательности.
а) Если бы условие задавало только знак члена, а модуль мог быть любым, последовательность не была бы задана и сумму в пункте б) найти было бы нельзя. Поэтому условие понимаем так: каждый член, начиная со второго, равен числу, противоположному предыдущему члену. Тогда \(a_2 = -a_1\), \(a_3 = -a_2\), \(a_4 = -a_3\) и т. д. Значит, рекуррентным способом последовательность задаётся условием \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = -a_n\).
б) \[\begin{aligned} a_2 &= -a_1 = -4; \\ a_3 &= -a_2 = -(-4) = 4; \\ a_4 &= -a_3 = -4. \end{aligned}\] Первые десять членов разбиваются на пять пар соседних членов: \(a_1\) и \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\), …, \(a_9\) и \(a_{10}\). В каждой паре второй член противоположен первому, поэтому \(a_n + a_{n+1} = a_n + (-a_n) = 0\). Значит, сумма первых десяти членов равна \(5 \cdot 0 = 0\).
Ответ: а) \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = -a_n\); б) \(0\).
Первый член последовательности \((a_n)\) равен 4, и каждый её член, начиная со второго, противоположен по знаку предыдущему. а) Задайте последовательность рекуррентным способом. б) Найдите сумму первых десяти членов последовательности.
а) Каждый член последовательности, начиная со второго, противоположен по знаку предыдущему. Если бы условие задавало только знак члена, а модуль мог быть любым, последовательность не была бы задана и сумму в пункте б) найти было бы нельзя. Поэтому условие понимаем так: каждый член, начиная со второго, равен числу, противоположному предыдущему члену. Это значит, что \(a_2 = -a_1\), \(a_3 = -a_2\), \(a_4 = -a_3\) и т. д. Следовательно, последовательность \((a_n)\) рекуррентным способом задаётся условием \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = -a_n\).
б) Найдём несколько членов последовательности по формуле \(a_{n+1} = -a_n\): \[\begin{aligned} a_2 &= -a_1 = -4; \\ a_3 &= -a_2 = -(-4) = 4; \\ a_4 &= -a_3 = -4. \end{aligned}\] Члены последовательности чередуются: \(4\); \(-4\); \(4\); \(-4\); … Первые десять членов разбиваются на пять пар соседних членов: \(a_1\) и \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\), …, \(a_9\) и \(a_{10}\). В каждой паре второй член противоположен первому, поэтому сумма пары равна нулю: \(a_n + a_{n+1} = a_n + (-a_n) = 0\). Следовательно, сумма первых десяти членов последовательности равна \(5 \cdot 0 = 0\).
Ответ: а) \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = -a_n\); б) \(0\).
