Страница 112 номер 474, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) \(a_2 = a_1 + 2\), \(a_3 = a_2 + 2\), \(a_4 = a_3 + 2\) и т. д. Значит, рекуррентным способом последовательность задаётся условием \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = a_n + 2\).
б) \[\begin{aligned} a_2 &= a_1 + 2 = 2 + 2 = 4; \\ a_3 &= a_2 + 2 = 4 + 2 = 6; \\ a_4 &= a_3 + 2 = 6 + 2 = 8; \\ a_5 &= a_4 + 2 = 8 + 2 = 10. \end{aligned}\]
в) Последовательность состоит из всех чётных натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, поэтому \(a_n = 2n\).
По этой формуле \(a_1 = 2 \cdot 1 = 2\) и \(a_{n+1} = 2(n + 1) = 2n + 2 = a_n + 2\), то есть она задаёт ту же последовательность.
Ответ: а) \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = a_n + 2\); б) \(2\); \(4\); \(6\); \(8\); \(10\); в) \(a_n = 2n\).
а) Каждый член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего на 2. Это значит, что \(a_2 = a_1 + 2\), \(a_3 = a_2 + 2\), \(a_4 = a_3 + 2\) и т. д. Следовательно, последовательность \((a_n)\) рекуррентным способом задаётся условием \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = a_n + 2\).
б) Известно, что \(a_1 = 2\). Найдём следующие четыре члена по формуле \(a_{n+1} = a_n + 2\): \[\begin{aligned} a_2 &= a_1 + 2 = 2 + 2 = 4; \\ a_3 &= a_2 + 2 = 4 + 2 = 6; \\ a_4 &= a_3 + 2 = 6 + 2 = 8; \\ a_5 &= a_4 + 2 = 8 + 2 = 10. \end{aligned}\]
в) Первый член последовательности равен 2, а каждый член, начиная со второго, больше предыдущего на 2. Следовательно, данная последовательность представляет собой последовательность всех чётных натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Любое чётное натуральное число записывается в виде \(2n\), где \(n\) — натуральное число, поэтому \(a_n = 2n\).
Убедимся, что формула \(a_n = 2n\) задаёт ту же последовательность. По ней \(a_1 = 2 \cdot 1 = 2\), а подставив \(n + 1\) вместо \(n\), получим \(a_{n+1} = 2(n + 1) = 2n + 2 = a_n + 2\), то есть каждый член, начиная со второго, больше предыдущего на 2.
Ответ: а) \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = a_n + 2\); б) \(2\); \(4\); \(6\); \(8\); \(10\); в) \(a_n = 2n\).
