Страница 112 номер 472, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{16}{n^2 - 4n + 12}\), является ограниченной, и найдите её наибольший член.
\[n^2 - 4n + 12 = n^2 - 2 \cdot 2 \cdot n + 2^2 - 2^2 + 12 = (n - 2)^2 + 8.\] Значит, \(a_n = \frac{16}{(n - 2)^2 + 8}\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому знаменатель \((n - 2)^2 + 8 \geqslant 8\) при любом натуральном \(n\), причём он равен 8 только при \(n = 2\).
Числитель и знаменатель дроби положительны, поэтому \(a_n > 0\) при любом натуральном \(n\) и последовательность ограничена снизу, например нулём.
Дробь с положительным числителем тем больше, чем меньше её положительный знаменатель, поэтому наибольшее значение дробь принимает при наименьшем знаменателе, то есть при \(n = 2\) (число 2 натуральное).
\(a_2 = \frac{16}{2^2 - 4 \cdot 2 + 12} = \frac{16}{4 - 8 + 12} = \frac{16}{8} = 2\) — наибольший член, поэтому \(a_n \leqslant 2\) при любом натуральном \(n\) и последовательность ограничена сверху числом 2.
Получили \(0 < a_n \leqslant 2\) при любом натуральном \(n\), значит, последовательность \((a_n)\) ограничена.
Ответ: последовательность ограничена (\(0 < a_n \leqslant 2\) при любом натуральном \(n\)); наибольший член \(a_2 = 2\).
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{16}{n^2 - 4n + 12}\), является ограниченной, и найдите её наибольший член.
Выделим в знаменателе полный квадрат: \[n^2 - 4n + 12 = n^2 - 2 \cdot 2 \cdot n + 2^2 - 2^2 + 12 = (n - 2)^2 + 8.\] Следовательно, \(a_n = \frac{16}{(n - 2)^2 + 8}\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому знаменатель \((n - 2)^2 + 8 \geqslant 8\) при любом натуральном \(n\), причём он равен 8 только при \(n = 2\).
Числитель и знаменатель дроби \(\frac{16}{(n - 2)^2 + 8}\) положительны, значит, сама дробь положительна. Следовательно, \(a_n > 0\) при любом натуральном \(n\) и последовательность \((a_n)\) ограничена снизу, например нулём.
Дробь с положительным числителем тем больше, чем меньше её положительный знаменатель, поэтому наибольшее значение дробь принимает при наименьшем знаменателе, то есть при \(n = 2\) (число 2 натуральное). Таким образом, наибольшим членом последовательности является \(a_2\). Найдём его по формуле \(n\)-го члена: \(a_2 = \frac{16}{2^2 - 4 \cdot 2 + 12} = \frac{16}{4 - 8 + 12} = \frac{16}{8} = 2\). Значит, \(a_n \leqslant 2\) при любом натуральном \(n\), то есть последовательность ограничена сверху числом 2.
Получили, что \(0 < a_n \leqslant 2\) при любом натуральном \(n\): последовательность \((a_n)\) ограничена и снизу, и сверху, значит, она является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена (\(0 < a_n \leqslant 2\) при любом натуральном \(n\)); наибольший член \(a_2 = 2\).
