Страница 112 номер 471, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = -\frac{16}{n + 3}\), является возрастающей, и найдите её наименьший член.
\[\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n = -\frac{16}{n + 4} - \left(-\frac{16}{n + 3}\right) = \frac{16}{n + 3} - \frac{16}{n + 4} = {} \\ &= \frac{16(n + 4) - 16(n + 3)}{(n + 3)(n + 4)} = \frac{16(n + 4 - n - 3)}{(n + 3)(n + 4)} = \frac{16}{(n + 3)(n + 4)}. \end{aligned}\] Числитель и знаменатель положительны при любом натуральном \(n\), поэтому \(a_{n+1} - a_n > 0\) — последовательность возрастающая.
Наименьший член возрастающей последовательности — первый: \(a_1 = -\frac{16}{1 + 3} = -\frac{16}{4} = -4\).
Ответ: последовательность возрастающая; наименьший член \(a_1 = -4\).
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = -\frac{16}{n + 3}\), является возрастающей, и найдите её наименьший член.
Найдём разность \(a_{n+1} - a_n\), подставив \(n + 1\) вместо \(n\) в формулу \(n\)-го члена: \[\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n = -\frac{16}{n + 4} - \left(-\frac{16}{n + 3}\right) = \frac{16}{n + 3} - \frac{16}{n + 4} = {} \\ &= \frac{16(n + 4) - 16(n + 3)}{(n + 3)(n + 4)} = \frac{16(n + 4 - n - 3)}{(n + 3)(n + 4)} = \frac{16}{(n + 3)(n + 4)}. \end{aligned}\] Числитель и знаменатель дроби \(\frac{16}{(n + 3)(n + 4)}\) положительны при любом натуральном \(n\). Следовательно, \(a_{n+1} - a_n > 0\) при любом натуральном \(n\), и последовательность \((a_n)\) является возрастающей.
Наименьшим членом возрастающей последовательности является её первый член: \(a_1 = -\frac{16}{1 + 3} = -\frac{16}{4} = -4\).
Ответ: последовательность возрастающая; наименьший член \(a_1 = -4\).
