Страница 112 номер 470, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = -4n - 4\), является убывающей, и найдите её наибольший член.
\(a_{n+1} = -4(n + 1) - 4 = -4n - 8\).
\(a_{n+1} - a_n = (-4n - 8) - (-4n - 4) = -4 < 0\) при любом натуральном \(n\) — последовательность убывающая.
Наибольший член убывающей последовательности — первый: \(a_1 = -4 \cdot 1 - 4 = -8\).
Ответ: последовательность убывающая; наибольший член \(a_1 = -8\).
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = -4n - 4\), является убывающей, и найдите её наибольший член.
Для доказательства достаточно найти разность \(a_{n+1} - a_n\) и показать, что она отрицательна при любом натуральном \(n\). Подставим \(n + 1\) вместо \(n\) в формулу \(n\)-го члена последовательности: \(a_{n+1} = -4(n + 1) - 4 = -4n - 8\). Следовательно, \(a_{n+1} - a_n = (-4n - 8) - (-4n - 4) = -4 < 0\) при любом натуральном \(n\), значит, последовательность \((a_n)\) является убывающей.
Наибольшим членом убывающей последовательности является её первый член: \(a_1 = -4 \cdot 1 - 4 = -8\).
Ответ: последовательность убывающая; наибольший член \(a_1 = -8\).
