Страница 112 номер 469, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дана последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{2}{n - 6} + \frac{2n - 24}{n^2 - 6n}\). Найдите: а) \(a_{100}\); б) наибольший член последовательности \((a_n)\).
При \(n = 6\) знаменатели обращаются в нуль. Знаменатель второй дроби \(n^2 - 6n = n(n - 6)\). При \(n \neq 6\) сократим дробь на множитель \(n - 6\), отличный от нуля: \[\begin{aligned} &a_n = \frac{2}{n - 6} + \frac{2n - 24}{n(n - 6)} = \frac{2n + 2n - 24}{n(n - 6)} = {} \\ &= \frac{4n - 24}{n(n - 6)} = \frac{4(n - 6)}{n(n - 6)} = \frac{4}{n}. \end{aligned}\]
а) \[a_{100} = \frac{4}{100} = 0{,}04.\]
б) Дробь \(\frac{4}{n}\) наибольшая при наименьшем натуральном \(n = 1\), поэтому \(a_n = \frac{4}{n} \leqslant \frac{4}{1} = 4\) при любом натуральном \(n \neq 6\), и наибольший член последовательности — \(a_1 = 4\).
Ответ: а) \(a_{100} = 0{,}04\); б) \(a_1 = 4\).
Дана последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{2}{n - 6} + \frac{2n - 24}{n^2 - 6n}\). Найдите: а) \(a_{100}\); б) наибольший член последовательности \((a_n)\).
При \(n = 6\) знаменатели обращаются в нуль. При \(n \neq 6\) упростим формулу \(n\)-го члена. Знаменатель второй дроби разложим на множители: \(n^2 - 6n = n(n - 6)\). Приведём дроби к общему знаменателю \(n(n - 6)\) и сократим полученную дробь на множитель \(n - 6\), отличный от нуля при \(n \neq 6\): \[\begin{aligned} &a_n = \frac{2}{n - 6} + \frac{2n - 24}{n(n - 6)} = \frac{2n + 2n - 24}{n(n - 6)} = {} \\ &= \frac{4n - 24}{n(n - 6)} = \frac{4(n - 6)}{n(n - 6)} = \frac{4}{n}. \end{aligned}\]
а) \[a_{100} = \frac{4}{100} = 0{,}04.\]
б) Дробь \(\frac{4}{n}\) с положительным числителем тем больше, чем меньше её положительный знаменатель \(n\), а наименьшее натуральное число — \(1\). Значит, \(a_n = \frac{4}{n} \leqslant \frac{4}{1} = 4\) при любом натуральном \(n \neq 6\), и наибольший член последовательности — \(a_1 = 4\).
Ответ: а) \(a_{100} = 0{,}04\); б) \(a_1 = 4\).
