Страница 112 номер 468, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{18}{n^2 - 16n + 70}\), является ограниченной, и найдите её наибольший член.
\[n^2 - 16n + 70 = n^2 - 2 \cdot 8 \cdot n + 8^2 - 8^2 + 70 = (n - 8)^2 + 6.\] \(a_n = \frac{18}{(n - 8)^2 + 6} > 0\) при любом натуральном \(n\) (числитель и знаменатель положительны) — последовательность ограничена снизу.
\((n - 8)^2 \geqslant 0\), поэтому знаменатель \((n - 8)^2 + 6 \geqslant 6\), причём значение 6 он принимает при \(n = 8\), а число 8 натуральное. Значит, \(a_n \leqslant \frac{18}{6} = 3\) при любом натуральном \(n\) — последовательность ограничена сверху, а её наибольший член — \(a_8 = 3\).
\(0 < a_n \leqslant 3\) — последовательность ограничена.
Ответ: последовательность ограничена: \(0 < a_n \leqslant 3\); наибольший член \(a_8 = 3\).
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{18}{n^2 - 16n + 70}\), является ограниченной, и найдите её наибольший член.
Выделим в знаменателе полный квадрат: \[n^2 - 16n + 70 = n^2 - 2 \cdot 8 \cdot n + 8^2 - 8^2 + 70 = (n - 8)^2 + 6.\] Следовательно, \(a_n = \frac{18}{(n - 8)^2 + 6}\).
Числитель и знаменатель дроби \(\frac{18}{(n - 8)^2 + 6}\) положительны, значит, сама дробь положительна. Следовательно, \(a_n > 0\) при любом натуральном \(n\), и последовательность \((a_n)\) ограничена снизу, например нулём.
Дробь с положительным числителем тем больше, чем меньше её положительный знаменатель. Так как \((n - 8)^2 \geqslant 0\), знаменатель \((n - 8)^2 + 6 \geqslant 6\), причём значение 6 он принимает при \(n = 8\), а число 8 натуральное. Значит, \(a_n \leqslant \frac{18}{6} = 3\) при любом натуральном \(n\), и \(a_8 = 3\) — наибольший член последовательности. Поскольку последовательность имеет наибольший член, она ограничена сверху.
Получили, что \(0 < a_n \leqslant 3\) при любом натуральном \(n\): последовательность \((a_n)\) ограничена и снизу, и сверху, значит, она является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена: \(0 < a_n \leqslant 3\); наибольший член \(a_8 = 3\).
