Страница 112 номер 467, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \((b_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(b = n^2 - 20n + 103\), является ограниченной снизу, и найдите её наименьший член.
В условии формула записана без индекса: последовательность \((b_n)\) задана формулой \(b_n = n^2 - 20n + 103\).
\(b_n = f(n)\), где \(f(x) = x^2 - 20x + 103\). График функции \(f\) — парабола с ветвями вверх (коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\)), наименьшее значение — в вершине, при \(x_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 1} = 10\): \[f(10) = 10^2 - 20 \cdot 10 + 103 = 100 - 200 + 103 = 3.\] Значит, \(b_n = f(n) \geqslant 3\) при любом натуральном \(n\) — последовательность ограничена снизу.
Число 10 натуральное, поэтому наименьший член последовательности — \(b_{10} = f(10) = 3\).
Ответ: последовательность ограничена снизу: \(b_n \geqslant 3\); наименьший член \(b_{10} = 3\).
Докажите, что последовательность \((b_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(b = n^2 - 20n + 103\), является ограниченной снизу, и найдите её наименьший член.
В условии формула записана без индекса: последовательность \((b_n)\) задана формулой \(b_n = n^2 - 20n + 103\).
Формула \(n\)-го члена последовательности напоминает квадратичную функцию. Рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 - 20x + 103\); тогда \(b_n = f(n)\) при любом натуральном \(n\). График функции \(f\) — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\)), поэтому наименьшее значение функция принимает в вершине параболы, при \(x_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 1} = 10\). Найдём это значение: \[f(10) = 10^2 - 20 \cdot 10 + 103 = 100 - 200 + 103 = 3.\] Значит, \(f(x) \geqslant 3\) при любом \(x\), в частности, \(b_n = f(n) \geqslant 3\) при любом натуральном \(n\), то есть последовательность ограничена снизу. Поскольку число 10 натуральное, \(f(10)\) — член последовательности с номером 10: \(b_{10} = f(10) = 3\). Следовательно, наименьший член последовательности — \(b_{10} = 3\).
Ответ: последовательность ограничена снизу: \(b_n \geqslant 3\); наименьший член \(b_{10} = 3\).
