Страница 111 номер 466, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{18}{n + 11}\), является убывающей, и найдите её наибольший член.
\[\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n = \frac{18}{n + 12} - \frac{18}{n + 11} = \frac{18(n + 11) - 18(n + 12)}{(n + 12)(n + 11)} = {} \\ &= \frac{18(n + 11 - n - 12)}{(n + 12)(n + 11)} = \frac{-18}{(n + 12)(n + 11)}. \end{aligned}\] Числитель отрицателен, знаменатель положителен при любом натуральном \(n\), поэтому \(a_{n+1} - a_n < 0\) — последовательность убывающая.
Наибольший член убывающей последовательности — первый: \(a_1 = \frac{18}{1 + 11} = \frac{18}{12} = 1{,}5\).
Ответ: последовательность убывающая; наибольший член \(a_1 = 1{,}5\).
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{18}{n + 11}\), является убывающей, и найдите её наибольший член.
Найдём разность \(a_{n+1} - a_n\), подставив \(n + 1\) вместо \(n\) в формулу \(n\)-го члена: \[\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n = \frac{18}{n + 12} - \frac{18}{n + 11} = \frac{18(n + 11) - 18(n + 12)}{(n + 12)(n + 11)} = {} \\ &= \frac{18(n + 11 - n - 12)}{(n + 12)(n + 11)} = \frac{-18}{(n + 12)(n + 11)}. \end{aligned}\] Числитель дроби отрицателен, а знаменатель \((n + 12)(n + 11)\) положителен при любом натуральном \(n\). Следовательно, \(a_{n+1} - a_n < 0\) при любом натуральном \(n\), и последовательность \((a_n)\) является убывающей.
Наибольшим членом убывающей последовательности является её первый член: \(a_1 = \frac{18}{1 + 11} = \frac{18}{12} = 1{,}5\).
Ответ: последовательность убывающая; наибольший член \(a_1 = 1{,}5\).
