Страница 111 номер 465, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = 7n - 2\), является возрастающей, и найдите её наименьший член.
\(a_{n+1} = 7(n + 1) - 2 = 7n + 5\).
\(a_{n+1} - a_n = (7n + 5) - (7n - 2) = 7 > 0\) при любом натуральном \(n\) — последовательность возрастающая.
Наименьший член возрастающей последовательности — первый: \(a_1 = 7 \cdot 1 - 2 = 5\).
Ответ: последовательность возрастающая; наименьший член \(a_1 = 5\).
Докажите, что последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = 7n - 2\), является возрастающей, и найдите её наименьший член.
Для доказательства достаточно найти разность \(a_{n+1} - a_n\) и показать, что она положительна при любом натуральном \(n\). Подставим \(n + 1\) вместо \(n\) в формулу \(n\)-го члена последовательности: \(a_{n+1} = 7(n + 1) - 2 = 7n + 5\). Следовательно, \(a_{n+1} - a_n = (7n + 5) - (7n - 2) = 7 > 0\) при любом натуральном \(n\), значит, последовательность \((a_n)\) является возрастающей.
Наименьшим членом возрастающей последовательности является её первый член: \(a_1 = 7 \cdot 1 - 2 = 5\).
Ответ: последовательность возрастающая; наименьший член \(a_1 = 5\).
