Страница 111 номер 464, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дана последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{1}{n + 3} - \frac{6n + 15}{n^2 + 3n}\). Найдите: а) \(a_{115}\); б) наименьший член последовательности \((a_n)\).
Знаменатель второй дроби \(n^2 + 3n = n(n + 3)\). Сократим дробь на множитель \(n + 3\), положительный при любом натуральном \(n\): \[\begin{aligned} &a_n = \frac{1}{n + 3} - \frac{6n + 15}{n(n + 3)} = \frac{n - (6n + 15)}{n(n + 3)} = {} \\ &= \frac{-5n - 15}{n(n + 3)} = \frac{-5(n + 3)}{n(n + 3)} = -\frac{5}{n}. \end{aligned}\]
а) \[a_{115} = -\frac{5}{115} = -\frac{1}{23}.\]
б) Дробь \(\frac{5}{n}\) наибольшая при наименьшем натуральном \(n = 1\), поэтому \(\frac{5}{n} \leqslant 5\) и \(a_n = -\frac{5}{n} \geqslant -5\) при любом натуральном \(n\). Значит, наименьший член последовательности — \(a_1 = -5\).
Ответ: а) \(a_{115} = -\frac{1}{23}\); б) \(a_1 = -5\).
Дана последовательность \((a_n)\), заданная формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{1}{n + 3} - \frac{6n + 15}{n^2 + 3n}\). Найдите: а) \(a_{115}\); б) наименьший член последовательности \((a_n)\).
Упростим формулу \(n\)-го члена. Знаменатель второй дроби разложим на множители: \(n^2 + 3n = n(n + 3)\). Приведём дроби к общему знаменателю \(n(n + 3)\) и сократим полученную дробь на множитель \(n + 3\), положительный при любом натуральном \(n\): \[\begin{aligned} &a_n = \frac{1}{n + 3} - \frac{6n + 15}{n(n + 3)} = \frac{n - (6n + 15)}{n(n + 3)} = {} \\ &= \frac{-5n - 15}{n(n + 3)} = \frac{-5(n + 3)}{n(n + 3)} = -\frac{5}{n}. \end{aligned}\]
а) \[a_{115} = -\frac{5}{115} = -\frac{1}{23}.\]
б) Член \(a_n = -\frac{5}{n}\) тем меньше, чем больше дробь \(\frac{5}{n}\), а дробь с положительным числителем тем больше, чем меньше её положительный знаменатель \(n\). Наименьший знаменатель — при \(n = 1\), поэтому \(\frac{5}{n} \leqslant 5\) и \(a_n = -\frac{5}{n} \geqslant -5\) при любом натуральном \(n\). Значит, наименьший член последовательности — \(a_1 = -5\).
Ответ: а) \(a_{115} = -\frac{1}{23}\); б) \(a_1 = -5\).
