Страница 111 номер 463, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наибольший член последовательности \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{12 + 4n}{n^2 + 3n}\).
Сократим дробь на множитель \(n + 3\), положительный при любом натуральном \(n\): \[a_n = \frac{12 + 4n}{n^2 + 3n} = \frac{4(n + 3)}{n(n + 3)} = \frac{4}{n}.\] Дробь \(\frac{4}{n}\) наибольшая при наименьшем натуральном \(n = 1\), поэтому \(a_n = \frac{4}{n} \leqslant \frac{4}{1} = 4\), и наибольший член последовательности — \(a_1 = 4\).
Ответ: \(a_1 = 4\).
Найдите наибольший член последовательности \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{12 + 4n}{n^2 + 3n}\).
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим её на множитель \(n + 3\) — при любом натуральном \(n\) он положителен, то есть отличен от нуля: \[a_n = \frac{12 + 4n}{n^2 + 3n} = \frac{4(n + 3)}{n(n + 3)} = \frac{4}{n}.\] Дробь \(\frac{4}{n}\) с положительным числителем тем больше, чем меньше её положительный знаменатель \(n\), а наименьшее натуральное число — \(1\). Значит, \(a_n = \frac{4}{n} \leqslant \frac{4}{1} = 4\) при любом натуральном \(n\), и наибольший член последовательности — \(a_1 = 4\).
Ответ: \(a_1 = 4\).
