Страница 111 номер 462, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Рассмотрим последовательность \((b_n)\), в которой первый член равен 1, а каждый следующий, начиная со второго, равен произведению предыдущего и числа \(-3\), то есть \(b_{n + 1} = -2b_n\). Найдите сумму первых пяти членов этой последовательности.
Словесное описание и формула в условии задают разные последовательности: по словам — множитель \(-3\), по формуле — \(-2\). Найдём сумму в обоих случаях.
По словесному описанию: \[\begin{aligned} b_1 &= 1; \\ b_2 &= -3b_1 = -3 \cdot 1 = -3; \\ b_3 &= -3b_2 = -3 \cdot (-3) = 9; \\ b_4 &= -3b_3 = -3 \cdot 9 = -27; \\ b_5 &= -3b_4 = -3 \cdot (-27) = 81. \end{aligned}\] \(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 1 - 3 + 9 - 27 + 81 = 61\).
По формуле \(b_{n+1} = -2b_n\): \(b_2 = -2 \cdot 1 = -2\), \(b_3 = -2 \cdot (-2) = 4\), \(b_4 = -2 \cdot 4 = -8\), \(b_5 = -2 \cdot (-8) = 16\).
\(1 - 2 + 4 - 8 + 16 = 11\) — сумма первых пяти членов.
Ответ: \(61\); по формуле \(b_{n+1} = -2b_n\) — \(11\).
Рассмотрим последовательность \((b_n)\), в которой первый член равен 1, а каждый следующий, начиная со второго, равен произведению предыдущего и числа \(-3\), то есть \(b_{n + 1} = -2b_n\). Найдите сумму первых пяти членов этой последовательности.
Словесное описание и формула в условии задают разные последовательности: по словам каждый следующий член получается умножением предыдущего на \(-3\), по формуле — на \(-2\). Найдём сумму в обоих случаях.
По словесному описанию \(b_1 = 1\) и \(b_{n+1} = -3b_n\). Вычислим последовательно первые пять членов этой последовательности: \[\begin{aligned} b_1 &= 1; \\ b_2 &= -3b_1 = -3 \cdot 1 = -3; \\ b_3 &= -3b_2 = -3 \cdot (-3) = 9; \\ b_4 &= -3b_3 = -3 \cdot 9 = -27; \\ b_5 &= -3b_4 = -3 \cdot (-27) = 81. \end{aligned}\] Следовательно, \(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 1 - 3 + 9 - 27 + 81 = 61\).
По формуле \(b_{n+1} = -2b_n\) получим \(b_2 = -2 \cdot 1 = -2\), \(b_3 = -2 \cdot (-2) = 4\), \(b_4 = -2 \cdot 4 = -8\), \(b_5 = -2 \cdot (-8) = 16\), и тогда сумма первых пяти членов равна \(1 - 2 + 4 - 8 + 16 = 11\).
Ответ: \(61\); по формуле \(b_{n+1} = -2b_n\) — \(11\).
