Страница 111 номер 460, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Для последовательности \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{2n + 3}{n + 1}\): а) найдите первые четыре члена последовательности; б) докажите, что любой член этой последовательности меньше 3.
а) \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{2 \cdot 1 + 3}{1 + 1} = \frac{5}{2}; \\ a_2 &= \frac{2 \cdot 2 + 3}{2 + 1} = \frac{7}{3}; \\ a_3 &= \frac{2 \cdot 3 + 3}{3 + 1} = \frac{9}{4}; \\ a_4 &= \frac{2 \cdot 4 + 3}{4 + 1} = \frac{11}{5}. \end{aligned}\]
б) \[\frac{2n + 3}{n + 1} = \frac{2n + 2 + 1}{n + 1} = \frac{2(n + 1)}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} = 2 + \frac{1}{n + 1}.\] При любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 1 \geqslant 2\), поэтому \(\frac{1}{n + 1} < 1\) и \(a_n = 2 + \frac{1}{n + 1} < 2 + 1 = 3\) — любой член последовательности меньше 3.
Ответ: а) \(\frac{5}{2}\); \(\frac{7}{3}\); \(\frac{9}{4}\); \(\frac{11}{5}\); б) доказано: \(a_n = 2 + \frac{1}{n + 1} < 3\) при любом натуральном \(n\).
Для последовательности \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{2n + 3}{n + 1}\): а) найдите первые четыре члена последовательности; б) докажите, что любой член этой последовательности меньше 3.
а) Вычислим первые четыре члена последовательности, используя формулу её \(n\)-го члена: \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{2 \cdot 1 + 3}{1 + 1} = \frac{5}{2}; \\ a_2 &= \frac{2 \cdot 2 + 3}{2 + 1} = \frac{7}{3}; \\ a_3 &= \frac{2 \cdot 3 + 3}{3 + 1} = \frac{9}{4}; \\ a_4 &= \frac{2 \cdot 4 + 3}{4 + 1} = \frac{11}{5}. \end{aligned}\]
б) По условию \(a_n = \frac{2n + 3}{n + 1}\). Выделим целую часть этой дроби: \[\frac{2n + 3}{n + 1} = \frac{2n + 2 + 1}{n + 1} = \frac{2(n + 1)}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} = 2 + \frac{1}{n + 1}.\] Значит, \(a_n = 2 + \frac{1}{n + 1}\). При любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 1 \geqslant 2\), то есть больше 1, поэтому \(\frac{1}{n + 1} < 1\) и \(a_n = 2 + \frac{1}{n + 1} < 2 + 1 = 3\). Значит, любой член последовательности меньше 3.
Ответ: а) \(\frac{5}{2}\); \(\frac{7}{3}\); \(\frac{9}{4}\); \(\frac{11}{5}\); б) доказано: \(a_n = 2 + \frac{1}{n + 1} < 3\) при любом натуральном \(n\).
