Страница 111 номер 456, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Для последовательности \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{n + 3}{n + 2}\): а) найдите первые четыре члена последовательности; б) докажите, что любой член этой последовательности больше 1.
а) \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3}; \\ a_2 &= \frac{2 + 3}{2 + 2} = \frac{5}{4}; \\ a_3 &= \frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}; \\ a_4 &= \frac{4 + 3}{4 + 2} = \frac{7}{6}. \end{aligned}\]
б) \[\frac{n + 3}{n + 2} = \frac{n + 2 + 1}{n + 2} = \frac{n + 2}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} = 1 + \frac{1}{n + 2}.\] При любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 2\) положителен, поэтому \(\frac{1}{n + 2} > 0\) и \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2} > 1\) — любой член последовательности больше 1.
Ответ: а) \(\frac{4}{3}\); \(\frac{5}{4}\); \(\frac{6}{5}\); \(\frac{7}{6}\); б) доказано: \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2} > 1\) при любом натуральном \(n\).
Для последовательности \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{n + 3}{n + 2}\): а) найдите первые четыре члена последовательности; б) докажите, что любой член этой последовательности больше 1.
а) Вычислим первые четыре члена последовательности, используя формулу её \(n\)-го члена: \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3}; \\ a_2 &= \frac{2 + 3}{2 + 2} = \frac{5}{4}; \\ a_3 &= \frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}; \\ a_4 &= \frac{4 + 3}{4 + 2} = \frac{7}{6}. \end{aligned}\]
б) По условию \(a_n = \frac{n + 3}{n + 2}\). Выделим целую часть этой дроби: \[\frac{n + 3}{n + 2} = \frac{n + 2 + 1}{n + 2} = \frac{n + 2}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} = 1 + \frac{1}{n + 2}.\] Значит, \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2}\). При любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 2\) положителен, поэтому \(\frac{1}{n + 2} > 0\) и \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2} > 1\), то есть любой член последовательности больше 1.
Ответ: а) \(\frac{4}{3}\); \(\frac{5}{4}\); \(\frac{6}{5}\); \(\frac{7}{6}\); б) доказано: \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2} > 1\) при любом натуральном \(n\).
