Страница 104 номер 454, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \((x^2-x)^2(x^2+x)^3 \le 0\); б) \(\frac{(9x+9)(-3x-4)}{6-5x} \ge 0\).
а) \(x^2 - x = x(x - 1)\), \(x^2 + x = x(x + 1)\), поэтому \[\begin{aligned} &(x^2 - x)^2(x^2 + x)^3 = x^2(x - 1)^2 \cdot x^3(x + 1)^3 = {} \\ &= x^5(x - 1)^2(x + 1)^3. \end{aligned}\] Неравенство принимает вид \(x^5(x - 1)^2(x + 1)^3 \leqslant 0\). Произведение обращается в нуль при \(x = -1\), \(x = 0\) и \(x = 1\). При \(x > 1\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через точку 1 знак произведения не меняется (множитель \((x - 1)^2\) стоит в чётной степени), а при переходе через точки 0 и \(-1\) — меняется (множители \(x^5\) и \((x + 1)^3\) стоят в нечётной степени). Значит, на промежутке \((0; 1)\) произведение положительно, на промежутке \((-1; 0)\) — отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому нули произведения входят в решение. Произведение неположительно на отрезке \([-1; 0]\) и в точке 1, где оно равно нулю, хотя слева и справа от неё положительно: множество решений — \([-1; 0] \cup \{1\}\).
б) \(9x + 9 = 9(x + 1)\), \(-3x - 4 = -(3x + 4)\) и \(6 - 5x = -(5x - 6)\), поэтому \[\frac{(9x + 9)(-3x - 4)}{6 - 5x} = \frac{-9(x + 1)(3x + 4)}{-(5x - 6)} = \frac{9(x + 1)(3x + 4)}{5x - 6}.\] Неравенство принимает вид \[\begin{aligned} \frac{9(x + 1)(3x + 4)}{5x - 6} &\geqslant 0; \qquad | : 9 \\ \frac{(x + 1)(3x + 4)}{5x - 6} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = -\frac{4}{3}\), знаменатель — при \(x = \frac{6}{5} = 1{,}2\). При \(x > 1{,}2\) все множители \(x + 1\), \(3x + 4\) и \(5x - 6\) положительны, поэтому дробь положительна. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак дроби меняется: на промежутке \((-1; 1{,}2)\) она отрицательна, на промежутке \(\left(-\frac{4}{3}; -1\right)\) — положительна, на промежутке \(\left(-\infty; -\frac{4}{3}\right)\) — отрицательна.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-\frac{4}{3}\) и \(-1\) входят в решение, а нуль знаменателя \(1{,}2\) — нет: \(\left[-\frac{4}{3}; -1\right] \cup (1{,}2; +\infty)\).
Ответ: а) \([-1; 0] \cup \{1\}\); б) \(\left[-\frac{4}{3}; -1\right] \cup (1{,}2; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \((x^2-x)^2(x^2+x)^3 \le 0\); б) \(\frac{(9x+9)(-3x-4)}{6-5x} \ge 0\).
а) Разложим выражения в скобках на множители: \(x^2 - x = x(x - 1)\), \(x^2 + x = x(x + 1)\). Тогда левая часть неравенства равна \[\begin{aligned} &(x^2 - x)^2(x^2 + x)^3 = x^2(x - 1)^2 \cdot x^3(x + 1)^3 = {} \\ &= x^5(x - 1)^2(x + 1)^3. \end{aligned}\] Неравенство принимает вид \(x^5(x - 1)^2(x + 1)^3 \leqslant 0\). Решим его методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = -1\), \(x = 0\) и \(x = 1\). При \(x > 1\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через точку 1 знак произведения не меняется (множитель \((x - 1)^2\) стоит в чётной степени), а при переходе через точки 0 и \(-1\) — меняется (множители \(x^5\) и \((x + 1)^3\) стоят в нечётной степени). Значит, на промежутке \((0; 1)\) произведение положительно, на промежутке \((-1; 0)\) — отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому нули произведения входят в решение. Произведение неположительно на отрезке \([-1; 0]\) и в точке 1, где оно равно нулю, хотя слева и справа от неё положительно: множество решений — \([-1; 0] \cup \{1\}\).
б) Так как \(9x + 9 = 9(x + 1)\), \(-3x - 4 = -(3x + 4)\) и \(6 - 5x = -(5x - 6)\), а при умножении числителя и знаменателя дроби на \(-1\) её значение не меняется, получаем: \[\frac{(9x + 9)(-3x - 4)}{6 - 5x} = \frac{-9(x + 1)(3x + 4)}{-(5x - 6)} = \frac{9(x + 1)(3x + 4)}{5x - 6}.\] Разделим обе части неравенства \(\frac{9(x + 1)(3x + 4)}{5x - 6} \geqslant 0\) на положительное число 9 — знак неравенства сохранится: \[\begin{aligned} \frac{9(x + 1)(3x + 4)}{5x - 6} &\geqslant 0; \qquad | : 9 \\ \frac{(x + 1)(3x + 4)}{5x - 6} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = -\frac{4}{3}\), знаменатель — при \(x = \frac{6}{5} = 1{,}2\). При \(x > 1{,}2\) все множители \(x + 1\), \(3x + 4\) и \(5x - 6\) положительны, поэтому дробь положительна. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак дроби меняется: на промежутке \((-1; 1{,}2)\) она отрицательна, на промежутке \(\left(-\frac{4}{3}; -1\right)\) — положительна, на промежутке \(\left(-\infty; -\frac{4}{3}\right)\) — отрицательна.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-\frac{4}{3}\) и \(-1\) входят в решение, а нуль знаменателя \(1{,}2\) — нет: \(\left[-\frac{4}{3}; -1\right] \cup (1{,}2; +\infty)\).
Ответ: а) \([-1; 0] \cup \{1\}\); б) \(\left[-\frac{4}{3}; -1\right] \cup (1{,}2; +\infty)\).
