Страница 104 номер 453, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \[\begin{cases} |x| \ge 3, \\ x(x+8)<0; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} (x^2-4)(x^2+3x+2) \le 0, \\ (x^2+4x-5)(x+3)>0. \end{cases}\]
а) \(|x| \geqslant 3\) тогда и только тогда, когда \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 3\): множество решений первого неравенства — \((-\infty; -3] \cup [3; +\infty)\).
Второе неравенство \(x(x + 8) < 0\): произведение обращается в нуль при \(x = -8\) и при \(x = 0\). При \(x > 0\) оба множителя \(x\) и \(x + 8\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-8; 0)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -8)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому числа \(-8\) и 0 в решение не входят: множество решений второго неравенства — \((-8; 0)\).
Все числа интервала \((-8; 0)\) меньше 3, поэтому первому неравенству из них удовлетворяют только числа, не большие \(-3\). Значит, множество решений системы — \((-8; -3]\).
б) \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\).
Корни трёхчлена \(x^2 + 3x + 2\) — числа \(-2\) и \(-1\) (их сумма равна \(-3\), а произведение равно 2), поэтому \(x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)\).
Первое неравенство принимает вид \((x - 2)(x + 2) \cdot (x + 2)(x + 1) \leqslant 0\), то есть \((x - 2)(x + 1)(x + 2)^2 \leqslant 0\).
Произведение обращается в нуль при \(x = -2\), \(x = -1\) и \(x = 2\). При \(x > 2\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через точки 2 и \(-1\) знак произведения меняется (множители \(x - 2\) и \(x + 1\) стоят в первой степени), а при переходе через точку \(-2\) — не меняется (множитель \((x + 2)^2\) стоит в чётной степени). Значит, на промежутке \((-1; 2)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-2; -1)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -2)\) — тоже положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому нули произведения входят в решение: множество решений первого неравенства — \(\{-2\} \cup [-1; 2]\).
Корни трёхчлена \(x^2 + 4x - 5\) — числа \(-5\) и 1 (их сумма равна \(-4\), а произведение равно \(-5\)), поэтому \(x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)\), и второе неравенство принимает вид \((x + 5)(x + 3)(x - 1) > 0\).
Произведение обращается в нуль при \(x = -5\), \(x = -3\) и \(x = 1\). При \(x > 1\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 1)\) оно отрицательно, на промежутке \((-5; -3)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -5)\) — отрицательно.
Неравенство строгое, поэтому нули произведения в решение не входят: множество решений второго неравенства — \((-5; -3) \cup (1; +\infty)\).
Число \(-2\) во второе множество не входит, так как \(-3 < -2 < 1\). С интервалом \((-5; -3)\) отрезок \([-1; 2]\) общих точек не имеет, а с лучом \((1; +\infty)\) его общая часть — промежуток \((1; 2]\). Значит, множество решений системы — \((1; 2]\).
Ответ: а) \((-8; -3]\); б) \((1; 2]\).
Решите систему неравенств: а) \[\begin{cases} |x| \ge 3, \\ x(x+8)<0; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} (x^2-4)(x^2+3x+2) \le 0, \\ (x^2+4x-5)(x+3)>0. \end{cases}\]
а) Неравенство \(|x| \geqslant 3\) выполняется тогда и только тогда, когда расстояние от точки \(x\) до нуля на числовой прямой не меньше 3, то есть \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 3\). Множество его решений — \((-\infty; -3] \cup [3; +\infty)\).
Неравенство \(x(x + 8) < 0\) решим методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = -8\) и при \(x = 0\). При \(x > 0\) оба множителя \(x\) и \(x + 8\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-8; 0)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -8)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа \(-8\) и 0 в решение не входят: множество решений второго неравенства — \((-8; 0)\).
Найдём общую часть множеств \((-\infty; -3] \cup [3; +\infty)\) и \((-8; 0)\). Все числа интервала \((-8; 0)\) меньше 3, поэтому первому неравенству из них удовлетворяют только числа, не большие \(-3\). Значит, множество решений системы — \((-8; -3]\).
б) Решим первое неравенство. Разложим на множители оба выражения в скобках: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\); корни трёхчлена \(x^2 + 3x + 2\) — числа \(-2\) и \(-1\) (их сумма равна \(-3\), а произведение равно 2), поэтому \(x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)\). Неравенство принимает вид \((x - 2)(x + 2) \cdot (x + 2)(x + 1) \leqslant 0\), то есть \((x - 2)(x + 1)(x + 2)^2 \leqslant 0\).
Воспользуемся методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = -2\), \(x = -1\) и \(x = 2\). При \(x > 2\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через точки 2 и \(-1\) знак произведения меняется (множители \(x - 2\) и \(x + 1\) стоят в первой степени), а при переходе через точку \(-2\) — не меняется (множитель \((x + 2)^2\) стоит в чётной степени). Значит, на промежутке \((-1; 2)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-2; -1)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -2)\) — тоже положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому нули произведения входят в решение: множество решений первого неравенства — \(\{-2\} \cup [-1; 2]\).
Решим второе неравенство. Корни трёхчлена \(x^2 + 4x - 5\) — числа \(-5\) и 1 (их сумма равна \(-4\), а произведение равно \(-5\)), поэтому \(x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)\), и неравенство принимает вид \((x + 5)(x + 3)(x - 1) > 0\). Произведение обращается в нуль при \(x = -5\), \(x = -3\) и \(x = 1\). При \(x > 1\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 1)\) оно отрицательно, на промежутке \((-5; -3)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -5)\) — отрицательно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому нули произведения в решение не входят: множество решений второго неравенства — \((-5; -3) \cup (1; +\infty)\).
Найдём общую часть множеств \(\{-2\} \cup [-1; 2]\) и \((-5; -3) \cup (1; +\infty)\). Число \(-2\) во второе множество не входит, так как \(-3 < -2 < 1\). С интервалом \((-5; -3)\) отрезок \([-1; 2]\) общих точек не имеет, а с лучом \((1; +\infty)\) его общая часть — промежуток \((1; 2]\). Значит, множество решений системы — \((1; 2]\).
Ответ: а) \((-8; -3]\); б) \((1; 2]\).
