Страница 104 номер 452, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каком значении параметра \(a\) решением системы неравенств \(\begin{cases} 3x \ge 8, \\ 10x-a \le 0 \end{cases}\) является отрезок длины 2?
\(3x \geqslant 8\), откуда \(x \geqslant \frac{8}{3}\) — луч \(\left[\frac{8}{3}; +\infty\right)\).
\(10x \leqslant a\), откуда \(x \leqslant \frac{a}{10}\) — луч \(\left(-\infty; \frac{a}{10}\right]\).
Если \(\frac{a}{10} < \frac{8}{3}\), у лучей нет общих точек, и система не имеет решений.
Если \(\frac{a}{10} = \frac{8}{3}\), общая точка у лучей одна — число \(\frac{8}{3}\).
Если \(\frac{a}{10} > \frac{8}{3}\), множество решений системы — отрезок \(\left[\frac{8}{3}; \frac{a}{10}\right]\), его длина равна \(\frac{a}{10} - \frac{8}{3}\). Эта длина равна 2, если \[\begin{aligned} \frac{a}{10} - \frac{8}{3} &= 2; \\ \frac{a}{10} &= 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}; \qquad | \cdot 10 \\ a &= \frac{140}{3}. \end{aligned}\] При \(a = \frac{140}{3}\) получаем \(\frac{a}{10} = \frac{14}{3} > \frac{8}{3}\), поэтому множество решений системы — отрезок \(\left[\frac{8}{3}; \frac{14}{3}\right]\), и его длина равна \(\frac{14}{3} - \frac{8}{3} = \frac{6}{3} = 2\).
Ответ: \(a = \frac{140}{3}\).
При каком значении параметра \(a\) решением системы неравенств \(\begin{cases} 3x \ge 8, \\ 10x-a \le 0 \end{cases}\) является отрезок длины 2?
Решим каждое неравенство системы. Из первого неравенства \(3x \geqslant 8\) получаем \(x \geqslant \frac{8}{3}\): множество его решений — луч \(\left[\frac{8}{3}; +\infty\right)\). Второе неравенство запишем в виде \(10x \leqslant a\) и разделим обе его части на положительное число 10: \(x \leqslant \frac{a}{10}\). Множество решений второго неравенства — луч \(\left(-\infty; \frac{a}{10}\right]\).
Если \(\frac{a}{10} < \frac{8}{3}\), у лучей нет общих точек, и система не имеет решений. Если \(\frac{a}{10} = \frac{8}{3}\), общая точка у лучей одна — число \(\frac{8}{3}\). Если \(\frac{a}{10} > \frac{8}{3}\), множество решений системы — отрезок \(\left[\frac{8}{3}; \frac{a}{10}\right]\), его длина равна \(\frac{a}{10} - \frac{8}{3}\). Эта длина равна 2, если \[\begin{aligned} \frac{a}{10} - \frac{8}{3} &= 2; \\ \frac{a}{10} &= 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}; \qquad | \cdot 10 \\ a &= \frac{140}{3}. \end{aligned}\] При \(a = \frac{140}{3}\) получаем \(\frac{a}{10} = \frac{14}{3} > \frac{8}{3}\), поэтому множество решений системы — отрезок \(\left[\frac{8}{3}; \frac{14}{3}\right]\), и его длина равна \(\frac{14}{3} - \frac{8}{3} = \frac{6}{3} = 2\).
Ответ: \(a = \frac{140}{3}\).
