Страница 104 номер 451, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \frac{x}{x^2+3} > 0, \\ \frac{x-2}{x^2-x-2} \ge 0. \end{cases}\]
Знаменатель дроби \(\frac{x}{x^2 + 3}\) положителен при любом \(x\), поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда положителен её числитель: \(x > 0\). Множество решений первого неравенства — \((0; +\infty)\).
Корни трёхчлена \(x^2 - x - 2\) — числа \(-1\) и 2 (их сумма равна 1, а произведение равно \(-2\)), поэтому \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\), и второе неравенство принимает вид \(\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 1)} \geqslant 0\).
Дробь имеет смысл при \(x \neq 2\) и \(x \neq -1\); при этих условиях \(\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}\). Числитель дроби \(\frac{1}{x + 1}\) положителен, поэтому она не равна нулю и неотрицательна тогда и только тогда, когда \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\). С учётом условия \(x \neq 2\) множество решений второго неравенства — \((-1; 2) \cup (2; +\infty)\).
Общая часть множеств \((0; +\infty)\) и \((-1; 2) \cup (2; +\infty)\) — все положительные числа, кроме числа 2: множество решений системы — \((0; 2) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: \((0; 2) \cup (2; +\infty)\).
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \frac{x}{x^2+3} > 0, \\ \frac{x-2}{x^2-x-2} \ge 0. \end{cases}\]
Решим первое неравенство. Знаменатель дроби \(\frac{x}{x^2 + 3}\) положителен при любом \(x\), поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда положителен её числитель: \(x > 0\). Множество решений первого неравенства — промежуток \((0; +\infty)\).
Решим второе неравенство. Корни трёхчлена \(x^2 - x - 2\) — числа \(-1\) и 2 (их сумма равна 1, а произведение равно \(-2\)), поэтому \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\), и неравенство принимает вид \(\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 1)} \geqslant 0\). Дробь имеет смысл при \(x \neq 2\) и \(x \neq -1\); при этих условиях её можно сократить на \(x - 2\): \(\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}\). Числитель дроби \(\frac{1}{x + 1}\) положителен, поэтому она не равна нулю и неотрицательна тогда и только тогда, когда \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\). С учётом условия \(x \neq 2\) множество решений второго неравенства — \((-1; 2) \cup (2; +\infty)\).
Найдём общую часть множеств \((0; +\infty)\) и \((-1; 2) \cup (2; +\infty)\): это все положительные числа, кроме числа 2, которое не входит в множество решений второго неравенства. Значит, множество решений системы — \((0; 2) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: \((0; 2) \cup (2; +\infty)\).
