Страница 104 номер 450, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(t_1 = 18\) ч — Игорь и Паша красят забор вместе
\(t_2 = 20\) ч — Паша и Володя красят забор вместе
\(t_3 = 30\) ч — Володя и Игорь красят забор вместе

Найти: \(t\) — время работы втроём, мин.

Решение:

Примем всю работу (покраску забора) за 1. Пусть за 1 час Игорь выполняет \(x\) долю работы, Паша — \(y\), Володя — \(z\). Игорь и Паша вместе красят забор за 18 часов, значит, за 1 час они выполняют \(\frac{1}{18}\) долю работы: \(x + y = \frac{1}{18}\). Так же \(y + z = \frac{1}{20}\) и \(z + x = \frac{1}{30}\). Получаем систему уравнений \[\begin{cases} x + y = \frac{1}{18}, \\ y + z = \frac{1}{20}, \\ z + x = \frac{1}{30}. \end{cases}\] Сложим уравнения системы; общий знаменатель дробей в правой части — 180: \[\begin{aligned} 2x + 2y + 2z &= \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}; \\ 2(x + y + z) &= \frac{10 + 9 + 6}{180} = \frac{25}{180} = \frac{5}{36}; \qquad | : 2 \\ x + y + z &= \frac{5}{72}. \end{aligned}\] Работая втроём, мальчики за 1 час выполняют \(\frac{5}{72}\) долю работы, поэтому весь забор они покрасят за \(t = 1 : \frac{5}{72} = \frac{72}{5} = 14{,}4\) ч. Переведём часы в минуты: \(14{,}4 \cdot 60 = 864\) (мин).

Проверка: \(x = \frac{5}{72} - \frac{1}{20} = \frac{25 - 18}{360} = \frac{7}{360}\), \(y = \frac{5}{72} - \frac{1}{30} = \frac{25 - 12}{360} = \frac{13}{360}\), \(z = \frac{5}{72} - \frac{1}{18} = \frac{25 - 20}{360} = \frac{5}{360}\) — все доли положительны, и \(x + y = \frac{20}{360} = \frac{1}{18}\), \(y + z = \frac{18}{360} = \frac{1}{20}\), \(z + x = \frac{12}{360} = \frac{1}{30}\).

Ответ: 864 мин.