Страница 104 номер 449, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} x^2+y^2=a^2, \\ y=4\text{:} \end{cases}\] а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет более одного решения.
При \(y = 4\) первое уравнение принимает вид \(x^2 + 16 = a^2\), то есть \(x^2 = a^2 - 16\). Каждому корню \(x\) этого уравнения соответствует ровно одно решение системы — пара \((x; 4)\), поэтому система имеет столько решений, сколько корней у уравнения \(x^2 = a^2 - 16\).
Если \(a^2 - 16 > 0\), уравнение имеет два корня \(-\sqrt{a^2 - 16}\) и \(\sqrt{a^2 - 16}\), и система имеет два решения.
Если \(a^2 - 16 = 0\), уравнение имеет единственный корень \(x = 0\), и система имеет единственное решение \((0; 4)\).
Если \(a^2 - 16 < 0\), уравнение корней не имеет, и система не имеет решений.
Числа \(|a|\) и 4 неотрицательны, \(a^2 = |a|^2\) и \(16 = 4^2\), поэтому \(a^2 = 16\) тогда и только тогда, когда \(|a| = 4\), то есть при \(a = -4\) и при \(a = 4\);
\(a^2 < 16\) тогда и только тогда, когда \(|a| < 4\), то есть при \(-4 < a < 4\);
\(a^2 > 16\) тогда и только тогда, когда \(|a| > 4\), то есть при \(a < -4\) или \(a > 4\).
Ответ: а) \(a = -4\) или \(a = 4\); б) \(-4 < a < 4\); в) \(a < -4\) или \(a > 4\).
Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} x^2+y^2=a^2, \\ y=4\text{:} \end{cases}\] а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет более одного решения.
Подставим \(4\) вместо \(y\) в первое уравнение системы: \(x^2 + 16 = a^2\), то есть \(x^2 = a^2 - 16\). Каждому корню \(x\) этого уравнения соответствует ровно одно решение системы — пара \((x; 4)\), поэтому система имеет столько решений, сколько корней у уравнения \(x^2 = a^2 - 16\).
Если \(a^2 - 16 > 0\), уравнение имеет два корня \(-\sqrt{a^2 - 16}\) и \(\sqrt{a^2 - 16}\), и система имеет два решения. Если \(a^2 - 16 = 0\), уравнение имеет единственный корень \(x = 0\), и система имеет единственное решение \((0; 4)\). Если \(a^2 - 16 < 0\), уравнение корней не имеет, так как квадрат числа не бывает отрицательным, и система не имеет решений.
Найдём, при каких значениях \(a\) выполняется каждое из условий. Числа \(|a|\) и 4 неотрицательны, \(a^2 = |a|^2\) и \(16 = 4^2\), а из двух неотрицательных чисел больше то, квадрат которого больше. Поэтому \(a^2 = 16\) тогда и только тогда, когда \(|a| = 4\), то есть при \(a = -4\) и при \(a = 4\);
\(a^2 < 16\) тогда и только тогда, когда \(|a| < 4\), то есть при \(-4 < a < 4\);
\(a^2 > 16\) тогда и только тогда, когда \(|a| > 4\), то есть при \(a < -4\) или \(a > 4\).
Это согласуется с графиками уравнений: при \(a \neq 0\) первое уравнение задаёт окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(|a|\), а прямая \(y = 4\) удалена от центра на 4 и при \(|a| = 4\) касается окружности в точке \((0; 4)\), при \(|a| > 4\) пересекает её в двух точках, а при \(|a| < 4\) общих точек с ней не имеет. При \(a = 0\) уравнению \(x^2 + y^2 = 0\) удовлетворяет только пара \((0; 0)\), а она второму уравнению не удовлетворяет.
Ответ: а) \(a = -4\) или \(a = 4\); б) \(-4 < a < 4\); в) \(a < -4\) или \(a > 4\).
