Страница 14 номер 45, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 - 7x - 60 = 0\); б) \(-x^2 - 8x - 15 = 0\); в) \(x^2 + 5x - 3 = 0\); г) \(25x^2 - 10x + 1 = 0\).
а) \[\begin{aligned} D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 17}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 17}{2} = 12. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} -x^2 - 8x - 15 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 8x + 15 &= 0; \\ D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4; \\ x_1 &= \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2}; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}. \end{aligned}\]
г) \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0\) — уравнение имеет один корень: \[x = \frac{-(-10)}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = 0{,}2.\]
Ответ: а) \(-5\); \(12\); б) \(-5\); \(-3\); в) \(\frac{-5 - \sqrt{37}}{2}\); \(\frac{-5 + \sqrt{37}}{2}\); г) \(0{,}2\).
Решите уравнение: а) \(x^2 - 7x - 60 = 0\); б) \(-x^2 - 8x - 15 = 0\); в) \(x^2 + 5x - 3 = 0\); г) \(25x^2 - 10x + 1 = 0\).
а) Найдём дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289\). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 17}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 17}{2} = 12. \end{aligned}\]
б) Умножим обе части уравнения на \(-1\) и найдём дискриминант: \[\begin{aligned} -x^2 - 8x - 15 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 8x + 15 &= 0; \\ D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3. \end{aligned}\]
в) Найдём дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37\). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2}; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}. \end{aligned}\]
г) Найдём дискриминант: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0\). Дискриминант равен нулю, поэтому уравнение имеет один корень: \[x = \frac{-(-10)}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = 0{,}2.\]
Ответ: а) \(-5\); \(12\); б) \(-5\); \(-3\); в) \(\frac{-5 - \sqrt{37}}{2}\); \(\frac{-5 + \sqrt{37}}{2}\); г) \(0{,}2\).
