Страница 104 номер 448, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Изобразите графически множество решений системы неравенств \[\begin{cases} x+y>4, \\ y+2x \le 8, \\ y<x+2. \end{cases}\]
\(x + y > 4\), то есть \(y > 4 - x\). Прямая \(y = 4 - x\) проходит через точки \((0; 4)\) и \((4; 0)\); неравенству \(y > 4 - x\) удовлетворяют координаты точек, лежащих выше этой прямой. Неравенство строгое, поэтому точки прямой \(x + y = 4\) его решениями не являются.
\(y + 2x \leqslant 8\), то есть \(y \leqslant 8 - 2x\). Прямая \(y = 8 - 2x\) проходит через точки \((2; 4)\) и \((4; 0)\); неравенству \(y \leqslant 8 - 2x\) удовлетворяют координаты точек этой прямой и точек, лежащих ниже неё. Неравенство нестрогое, поэтому прямая \(y + 2x = 8\) входит в множество его решений.
Прямая \(y = x + 2\) проходит через точки \((-2; 0)\) и \((0; 2)\); неравенству \(y < x + 2\) удовлетворяют координаты точек, лежащих ниже этой прямой. Неравенство строгое, поэтому точки прямой его решениями не являются.
Прямые \(x + y = 4\) и \(y + 2x = 8\): вычитая первое уравнение из второго, получим \(x = 4\), тогда \(y = 4 - 4 = 0\) — общая точка \((4; 0)\).
Прямые \(x + y = 4\) и \(y = x + 2\): \(2x + 2 = 4\), \(x = 1\), \(y = 3\) — общая точка \((1; 3)\).
Прямые \(y + 2x = 8\) и \(y = x + 2\): \(3x + 2 = 8\), \(x = 2\), \(y = 4\) — общая точка \((2; 4)\).
Три прямые ограничивают треугольник с вершинами \((1; 3)\), \((2; 4)\) и \((4; 0)\). Точка \((2; 3)\) лежит внутри него и удовлетворяет всем трём неравенствам: \(2 + 3 > 4\), \(3 + 2 \cdot 2 \leqslant 8\), \(3 < 2 + 2\). Поэтому общая часть трёх полуплоскостей — этот треугольник. Каждая его вершина лежит на прямой \(x + y = 4\) или на прямой \(y = x + 2\), где строгое неравенство не выполняется, поэтому вершины в множество решений не входят — отметим их выколотыми.
Значит, множество решений системы — внутренние точки треугольника с вершинами \((1; 3)\), \((2; 4)\), \((4; 0)\) и точки его стороны, лежащей на прямой \(y + 2x = 8\), кроме её концов; стороны, лежащие на прямых \(x + y = 4\) и \(y = x + 2\), в множество не входят.
Изобразите графически множество решений системы неравенств \[\begin{cases} x+y>4, \\ y+2x \le 8, \\ y<x+2. \end{cases}\]
Решим графически каждое неравенство системы.
Неравенство \(x + y > 4\) запишем в виде \(y > 4 - x\). График уравнения \(y = 4 - x\) — прямая, проходящая через точки \((0; 4)\) и \((4; 0)\). Неравенству \(y > 4 - x\) удовлетворяют координаты точек, лежащих выше этой прямой; неравенство строгое, поэтому точки прямой \(x + y = 4\) его решениями не являются.
Неравенство \(y + 2x \leqslant 8\) запишем в виде \(y \leqslant 8 - 2x\). График уравнения \(y = 8 - 2x\) — прямая, проходящая через точки \((2; 4)\) и \((4; 0)\). Неравенству \(y \leqslant 8 - 2x\) удовлетворяют координаты точек этой прямой и точек, лежащих ниже неё; неравенство нестрогое, поэтому прямая \(y + 2x = 8\) входит в множество его решений.
График уравнения \(y = x + 2\) — прямая, проходящая через точки \((-2; 0)\) и \((0; 2)\). Неравенству \(y < x + 2\) удовлетворяют координаты точек, лежащих ниже этой прямой; неравенство строгое, поэтому точки прямой его решениями не являются.
Найдём общие точки границ, решив системы уравнений. Прямые \(x + y = 4\) и \(y + 2x = 8\): вычтем первое уравнение из второго, получим \(x = 4\), тогда \(y = 4 - 4 = 0\) — общая точка \((4; 0)\). Прямые \(x + y = 4\) и \(y = x + 2\): подставим \(x + 2\) вместо \(y\) в первое уравнение, получим \(2x + 2 = 4\), \(x = 1\), \(y = 3\) — общая точка \((1; 3)\). Прямые \(y + 2x = 8\) и \(y = x + 2\): подставим \(x + 2\) вместо \(y\) в первое уравнение, получим \(3x + 2 = 8\), \(x = 2\), \(y = 4\) — общая точка \((2; 4)\).
Три прямые ограничивают треугольник с вершинами \((1; 3)\), \((2; 4)\) и \((4; 0)\). Точка \((2; 3)\) лежит внутри него и удовлетворяет всем трём неравенствам: \(2 + 3 > 4\), \(3 + 2 \cdot 2 \leqslant 8\), \(3 < 2 + 2\). Поэтому общая часть трёх полуплоскостей — этот треугольник. Каждая его вершина лежит на прямой \(x + y = 4\) или на прямой \(y = x + 2\), где строгое неравенство не выполняется, поэтому вершины в множество решений не входят — отметим их выколотыми.
Значит, множество решений системы — внутренние точки треугольника с вершинами \((1; 3)\), \((2; 4)\), \((4; 0)\) и точки его стороны, лежащей на прямой \(y + 2x = 8\), кроме её концов; стороны, лежащие на прямых \(x + y = 4\) и \(y = x + 2\), в множество не входят.
