Страница 104 номер 447, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каком значении параметра \(p\) центр окружности, заданной уравнением \((x-2p)^2+(y+6)^2=4\), лежит на прямой \(y=3x\)?
\((x - 2p)^2 + (y - (-6))^2 = 2^2\), значит, центр окружности — точка \((2p; -6)\), а радиус равен 2.
Центр \((2p; -6)\) лежит на прямой \(y = 3x\), если \[\begin{aligned} 3 \cdot 2p &= -6; \\ 6p &= -6; \qquad | : 6 \\ p &= -1. \end{aligned}\] Проверка: при \(p = -1\) центр окружности — точка \((-2; -6)\), и \(3 \cdot (-2) = -6\), то есть центр лежит на прямой \(y = 3x\).
Ответ: при \(p = -1\).
При каком значении параметра \(p\) центр окружности, заданной уравнением \((x-2p)^2+(y+6)^2=4\), лежит на прямой \(y=3x\)?
Уравнение \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) при \(r > 0\) задаёт окружность с центром \((a; b)\) и радиусом \(r\). Запишем данное уравнение в таком виде: \((x - 2p)^2 + (y - (-6))^2 = 2^2\). Значит, центр окружности — точка \((2p; -6)\), а радиус равен 2.
Точка лежит на прямой \(y = 3x\) тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение прямой в верное равенство. Подставим координаты центра в уравнение \(y = 3x\): \[\begin{aligned} 3 \cdot 2p &= -6; \\ 6p &= -6; \qquad | : 6 \\ p &= -1. \end{aligned}\] Проверка: при \(p = -1\) центр окружности — точка \((-2; -6)\), и \(3 \cdot (-2) = -6\), то есть центр лежит на прямой \(y = 3x\).
Ответ: при \(p = -1\).
