Страница 104 номер 446, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему уравнений: а) \[\begin{cases} (x-y)(y+1)=0, \\ (4x+5y-9)(x+4)=0; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} x^2y=x, \\ xy^2=y. \end{cases}\]
а) Все множители — многочлены и имеют смысл при любых \(x\) и \(y\), поэтому первое уравнение верно тогда и только тогда, когда \(x - y = 0\) или \(y + 1 = 0\), то есть \(y = x\) или \(y = -1\); второе — когда \(4x + 5y - 9 = 0\) или \(x + 4 = 0\), то есть \(4x + 5y = 9\) или \(x = -4\).
Если \(y = x\) и \(4x + 5y = 9\), то \(4x + 5x = 9\);
\(9x = 9\);
\(x = 1\), тогда \(y = 1\) — решение \((1; 1)\).
Если \(y = x\) и \(x = -4\), то \(y = -4\) — решение \((-4; -4)\).
Если \(y = -1\) и \(4x + 5y = 9\), то \(4x - 5 = 9\);
\(4x = 14\);
\(x = 3{,}5\) — решение \((3{,}5; -1)\).
Если \(y = -1\) и \(x = -4\), получаем решение \((-4; -1)\).
б) \[\begin{cases} x(xy - 1) = 0, \\ y(xy - 1) = 0. \end{cases}\] Делить обе части уравнений на \(x\) или на \(y\) нельзя: так теряются решения, у которых \(x = 0\) или \(y = 0\). Первое уравнение верно тогда и только тогда, когда \(x = 0\) или \(xy = 1\), второе — когда \(y = 0\) или \(xy = 1\).
Если \(x = 0\) и \(y = 0\), получаем решение \((0; 0)\).
Условия \(x = 0\) и \(xy = 1\) одновременно не выполняются: при \(x = 0\) произведение \(xy\) равно нулю. По той же причине не выполняются одновременно условия \(xy = 1\) и \(y = 0\).
Если \(xy = 1\), то верны оба уравнения: \(x^2y = x \cdot xy = x\) и \(xy^2 = y \cdot xy = y\). Значит, решением системы является любая пара чисел, произведение которых равно 1, то есть любая пара \(\left(t; \frac{1}{t}\right)\), где \(t \neq 0\).
Ответ: а) \((-4; -4)\); \((-4; -1)\); \((1; 1)\); \((3{,}5; -1)\); б) \((0; 0)\) и все пары \(\left(t; \frac{1}{t}\right)\), где \(t \neq 0\).
Решите систему уравнений: а) \[\begin{cases} (x-y)(y+1)=0, \\ (4x+5y-9)(x+4)=0; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} x^2y=x, \\ xy^2=y. \end{cases}\]
а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей; все множители — многочлены и имеют смысл при любых \(x\) и \(y\). Поэтому первое уравнение верно тогда и только тогда, когда \(x - y = 0\) или \(y + 1 = 0\), то есть \(y = x\) или \(y = -1\); второе — когда \(4x + 5y - 9 = 0\) или \(x + 4 = 0\), то есть \(4x + 5y = 9\) или \(x = -4\). Пара чисел является решением системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из условий для первого уравнения и одному из условий для второго. Рассмотрим четыре случая.
Если \(y = x\) и \(4x + 5y = 9\), то \(4x + 5x = 9\);
\(9x = 9\);
\(x = 1\), тогда \(y = 1\) — решение \((1; 1)\).
Если \(y = x\) и \(x = -4\), то \(y = -4\) — решение \((-4; -4)\).
Если \(y = -1\) и \(4x + 5y = 9\), то \(4x - 5 = 9\);
\(4x = 14\);
\(x = 3{,}5\) — решение \((3{,}5; -1)\).
Если \(y = -1\) и \(x = -4\), получаем решение \((-4; -1)\).
б) Перенесём правые части уравнений в левые и вынесем общий множитель за скобки: \[\begin{cases} x(xy - 1) = 0, \\ y(xy - 1) = 0. \end{cases}\] Делить обе части уравнений на \(x\) или на \(y\) нельзя: так теряются решения, у которых \(x = 0\) или \(y = 0\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, первое уравнение верно тогда и только тогда, когда \(x = 0\) или \(xy = 1\), второе — когда \(y = 0\) или \(xy = 1\).
Если \(x = 0\) и \(y = 0\), получаем решение \((0; 0)\).
Условия \(x = 0\) и \(xy = 1\) одновременно не выполняются: при \(x = 0\) произведение \(xy\) равно нулю. По той же причине не выполняются одновременно условия \(xy = 1\) и \(y = 0\).
Если \(xy = 1\), то верны оба уравнения: \(x^2y = x \cdot xy = x\) и \(xy^2 = y \cdot xy = y\). Значит, решением системы является любая пара чисел, произведение которых равно 1, то есть любая пара \(\left(t; \frac{1}{t}\right)\), где \(t \neq 0\).
Ответ: а) \((-4; -4)\); \((-4; -1)\); \((1; 1)\); \((3{,}5; -1)\); б) \((0; 0)\) и все пары \(\left(t; \frac{1}{t}\right)\), где \(t \neq 0\).
