Страница 103 номер 444, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график уравнения \(3x^2y - 9x^2 - y^2 + 3y = 0\).
\[\begin{aligned} 3x^2y - 9x^2 - y^2 + 3y &= 0; \\ 3x^2(y - 3) - y(y - 3) &= 0; \\ (3x^2 - y)(y - 3) &= 0. \end{aligned}\] Оба множителя — многочлены и имеют смысл при любых \(x\) и \(y\), поэтому либо \(3x^2 - y = 0\), либо \(y - 3 = 0\), то есть либо \(y = 3x^2\), либо \(y = 3\).
График уравнения \(y = 3x^2\) — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.
График уравнения \(y = 3\) — прямая, параллельная оси \(x\) и проходящая через точку \((0; 3)\); парабола и прямая пересекаются в точках \((-1; 3)\) и \((1; 3)\).
Значит, график уравнения \(3x^2y - 9x^2 - y^2 + 3y = 0\) состоит из параболы \(y = 3x^2\) и прямой \(y = 3\).
Постройте график уравнения \(3x^2y - 9x^2 - y^2 + 3y = 0\).
Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки: \[\begin{aligned} 3x^2y - 9x^2 - y^2 + 3y &= 0; \\ 3x^2(y - 3) - y(y - 3) &= 0; \\ (3x^2 - y)(y - 3) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей (оба множителя — многочлены и имеют смысл при любых \(x\) и \(y\)). Получаем два случая: либо \(3x^2 - y = 0\), либо \(y - 3 = 0\), то есть либо \(y = 3x^2\), либо \(y = 3\).
График уравнения \(y = 3x^2\) — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх; она проходит через точки \((-1; 3)\) и \((1; 3)\). График уравнения \(y = 3\) — прямая, параллельная оси \(x\) и проходящая через точку \((0; 3)\); парабола и прямая пересекаются в точках \((-1; 3)\) и \((1; 3)\).
Значит, график уравнения \(3x^2y - 9x^2 - y^2 + 3y = 0\) состоит из параболы \(y = 3x^2\) и прямой \(y = 3\).
