Темы исследовательских работ на странице 103, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Система уравнений с двумя переменными и её решения.
2. Способ подстановки.
3. Способ сложения.
4. Системы с уравнением, разложимым на множители.
5. Графический способ и число решений.

Презентация к докладу: «Способы решения систем уравнений с двумя переменными», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Система уравнений с двумя переменными и её решения. Пару чисел называют решением системы уравнений с двумя переменными, если она является решением каждого уравнения системы; множество решений системы — множество всех общих решений её уравнений. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет. Система двух линейных уравнений, в каждом из которых коэффициенты при \(x\) и \(y\) не равны нулю одновременно, имеет одно решение, не имеет решений или имеет бесконечно много решений: её уравнения задают две прямые, которые пересекаются, параллельны или совпадают. Если хотя бы одно уравнение системы второй степени, решений может оказаться больше одного: например, два, три или четыре. Общая идея способов подстановки и сложения — получить из системы уравнение с одной переменной.

2. Способ подстановки. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в остальные уравнения системы; удобнее всего выражать переменную из линейного уравнения. Решим систему \(y - x = 2\), \(x^2 + xy = 4\). Из первого уравнения \(y = x + 2\); после подстановки получаем \(x^2 + x(x + 2) = 4\), \(2x^2 + 2x - 4 = 0\), \(x^2 + x - 2 = 0\), откуда \(x = -2\) или \(x = 1\). Значения второй переменной находят по формуле \(y = x + 2\): \(y = 0\) и \(y = 3\). Решения системы — пары \((-2; 0)\) и \((1; 3)\). Если при решении обе части уравнения возводились в квадрат или умножались на выражение с переменной, найденные пары проверяют подстановкой в каждое уравнение системы.

3. Способ сложения. Если нужно, обе части уравнений умножают на такие числа, чтобы после сложения (или вычитания) уравнений одна из переменных исчезла; затем решают получившееся уравнение с одной переменной и находят значения другой переменной. Так, в системе \(2x^2 - 3y^2 = 5\), \(3x^2 + 2y^2 = 14\) умножим обе части первого уравнения на 2, второго — на 3 и сложим уравнения: \(4x^2 - 6y^2 + 9x^2 + 6y^2 = 10 + 42\), \(13x^2 = 52\), \(x^2 = 4\). Тогда \(2 \cdot 4 - 3y^2 = 5\), \(y^2 = 1\), и система имеет четыре решения: \((-2; -1)\), \((-2; 1)\), \((2; -1)\), \((2; 1)\). Сложение помогает и тогда, когда ни одна переменная не исчезает: сложив уравнения системы \(x^2 + xy = 12\), \(y^2 + xy = 4\), получим \((x + y)^2 = 16\), то есть \(x + y = 4\) или \(x + y = -4\). Первое уравнение имеет вид \(x(x + y) = 12\), поэтому в первом случае \(x = 3\), \(y = 1\), во втором — \(x = -3\), \(y = -1\).

4. Системы с уравнением, разложимым на множители. Если одно уравнение системы приводится к виду «произведение равно нулю», система распадается на несколько более простых систем. В системе \(xy - 2x + 3y - 6 = 0\), \(x^2 + y^2 = 13\) первое уравнение группировкой приводится к виду \((x + 3)(y - 2) = 0\). При \(x = -3\) из второго уравнения \(y^2 = 4\), откуда получаем пары \((-3; -2)\) и \((-3; 2)\); при \(y = 2\) получаем \(x^2 = 9\) и пары \((-3; 2)\) и \((3; 2)\). Пара \((-3; 2)\) встретилась дважды, поэтому система имеет три решения: \((-3; -2)\), \((-3; 2)\), \((3; 2)\). Делить уравнение на выражение с переменной, не разобрав отдельно случай, когда оно равно нулю, нельзя: в системе \(xy = 2x\), \(x + y = 4\) деление на \(x\) даёт только решение \((2; 2)\) и теряет решение \((0; 4)\); правильно — записать первое уравнение в виде \(x(y - 2) = 0\) и рассмотреть оба случая.

5. Графический способ и число решений. Чтобы решить систему графически, строят в одной системе координат графики её уравнений и находят координаты их общих точек; число решений системы равно числу общих точек графиков. Координаты, найденные по чертежу, часто приближённые, а часть общих точек может лежать за его пределами, поэтому найденные пары проверяют подстановкой и обосновывают, что других решений нет. Зато графический способ хорошо показывает, сколько решений имеет система. Так, окружность \(x^2 + y^2 = 25\) и прямая \(y = a\) имеют две общие точки при \(-5 < a < 5\), одну — при \(a = -5\) и при \(a = 5\) и ни одной — при \(a < -5\) и при \(a > 5\). Система \(x + y = 5\), \(xy = 6\) графически — это прямая и гипербола \(y = \frac{6}{x}\) с двумя общими точками \((2; 3)\) и \((3; 2)\). Тот же ответ даёт теорема, обратная теореме Виета: числа \(x\) и \(y\) с суммой 5 и произведением 6 — корни уравнения \(t^2 - 5t + 6 = 0\), то есть 2 и 3.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что способы подстановки и сложения сводят систему уравнений с двумя переменными к уравнению с одной переменной. Способ подстановки удобен, когда из одного уравнения легко выразить переменную, особенно из линейного; способ сложения — когда после умножения уравнений на подходящие числа и их сложения одна переменная исчезает или уравнение заметно упрощается; разложение на множители разбивает систему на несколько более простых, а при делении на выражение с переменной случай, когда оно равно нулю, разбирают отдельно, чтобы не потерять решения. Графический способ показывает число решений и их приближённые значения, которые затем проверяют подстановкой.