Страница 103 номер 443, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра система неравенств \(\begin{cases} ax \le -9, \\ x-3 \le 0 \end{cases}\) имеет единственное решение?
Второе неравенство: \(x - 3 \leqslant 0\), то есть \(x \leqslant 3\).
Если \(a > 0\), то при делении обеих частей первого неравенства на \(a\) знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} ax &\leqslant -9; \qquad | : a \\ x &\leqslant -\frac{9}{a}. \end{aligned}\] Число \(-\frac{9}{a}\) отрицательно, поэтому \(-\frac{9}{a} < 3\), и множество решений системы — луч \(\left(-\infty; -\frac{9}{a}\right]\): решений бесконечно много.
При \(a = 0\) первое неравенство примет вид \(0 \cdot x \leqslant -9\), то есть \(0 \leqslant -9\), — оно неверно при любом \(x\), и система решений не имеет.
Если \(a < 0\), то при делении обеих частей первого неравенства на отрицательное число \(a\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} ax &\leqslant -9; \qquad | : a \\ x &\geqslant -\frac{9}{a}. \end{aligned}\] Система принимает вид \(\begin{cases} x \geqslant -\frac{9}{a}, \\ x \leqslant 3. \end{cases}\) Если \(-\frac{9}{a} < 3\), её решения — все числа отрезка \(\left[-\frac{9}{a}; 3\right]\), их бесконечно много. Если \(-\frac{9}{a} > 3\), общих точек у множеств решений неравенств нет и система решений не имеет. Если \(-\frac{9}{a} = 3\), система имеет единственное решение \(x = 3\); из \(-\frac{9}{a} = 3\) получаем \(3a = -9\), \(a = -3\) — это значение удовлетворяет условию \(a < 0\).
Проверка: при \(a = -3\) первое неравенство \(-3x \leqslant -9\) равносильно неравенству \(x \geqslant 3\), и вместе с неравенством \(x \leqslant 3\) оно даёт единственное решение \(x = 3\).
Значит, система имеет единственное решение только при \(a = -3\).
Ответ: \(a = -3\).
При каких значениях параметра система неравенств \(\begin{cases} ax \le -9, \\ x-3 \le 0 \end{cases}\) имеет единственное решение?
Второе неравенство: \(x - 3 \leqslant 0\), то есть \(x \leqslant 3\); его множество решений — луч \((-\infty; 3]\). Рассмотрим первое неравенство \(ax \leqslant -9\) при разных значениях параметра \(a\).
При \(a > 0\) разделим обе части первого неравенства на \(a\); знак неравенства сохранится: \[\begin{aligned} ax &\leqslant -9; \qquad | : a \\ x &\leqslant -\frac{9}{a}. \end{aligned}\] Так как \(a > 0\), число \(-\frac{9}{a}\) отрицательно, поэтому \(-\frac{9}{a} < 3\). Множеством решений системы \(\begin{cases} x \leqslant -\frac{9}{a}, \\ x \leqslant 3 \end{cases}\) является луч \(\left(-\infty; -\frac{9}{a}\right]\) — решений бесконечно много.
При \(a = 0\) первое неравенство примет вид \(0 \cdot x \leqslant -9\), то есть \(0 \leqslant -9\), — оно неверно при любом \(x\). Система решений не имеет.
При \(a < 0\) разделим обе части первого неравенства на \(a\); знак неравенства поменяется на противоположный: \[\begin{aligned} ax &\leqslant -9; \qquad | : a \\ x &\geqslant -\frac{9}{a}. \end{aligned}\] Система принимает вид \(\begin{cases} x \geqslant -\frac{9}{a}, \\ x \leqslant 3. \end{cases}\) Если \(-\frac{9}{a} < 3\), её решения — все числа отрезка \(\left[-\frac{9}{a}; 3\right]\), их бесконечно много. Если \(-\frac{9}{a} > 3\), общих точек у множеств решений неравенств нет и система решений не имеет. Если \(-\frac{9}{a} = 3\), система имеет единственное решение \(x = 3\). Из равенства \(-\frac{9}{a} = 3\) получаем \(3a = -9\), \(a = -3\); это значение удовлетворяет условию \(a < 0\).
Проверка: при \(a = -3\) первое неравенство \(-3x \leqslant -9\) равносильно неравенству \(x \geqslant 3\), и вместе с неравенством \(x \leqslant 3\) оно даёт единственное решение \(x = 3\).
Таким образом, система имеет единственное решение только при \(a = -3\).
Ответ: \(a = -3\).
