Темы исследовательских работ на странице 103, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Уравнение с двумя переменными и его решения.
2. График уравнения: прямая, парабола, гипербола.
3. Уравнение окружности и выделение полных квадратов.
4. Уравнения, распадающиеся на множители.
5. Сумма квадратов, модули и решения в целых числах.

Презентация к докладу: «Виды уравнений и способы их решения», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Уравнение с двумя переменными и его решения. Уравнения бывают не только с одной переменной: \(3x - 2y = 6\), \(x^2 + y^2 = 25\), \(xy = 6\) — уравнения с двумя переменными. Решением такого уравнения называют пару чисел, при подстановке которых вместо переменных уравнение превращается в верное равенство; первым в паре записывают значение \(x\), вторым — значение \(y\). Пара \((2; 0)\) — решение уравнения \(3x - 2y = 6\), а пара \((0; 2)\) — нет: \(3 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = -4 \ne 6\). Обычно решений бесконечно много: из уравнения \(3x - 2y = 6\) получаем \(y = 1{,}5x - 3\), и каждое значение \(x\) даёт своё решение. Поэтому решить уравнение с двумя переменными — значит описать множество всех его решений, а нагляднее всего это множество изображается на координатной плоскости.

2. График уравнения: прямая, парабола, гипербола. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются его решениями: точка лежит на графике тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение в верное равенство. Если из уравнения удаётся выразить \(y\) через \(x\), его график совпадает с графиком получившейся функции. Уравнение \(3x - 2y = 6\) задаёт прямую \(y = 1{,}5x - 3\), уравнение \(y - x^2 + 2x = 0\) — параболу \(y = x^2 - 2x\) с вершиной \((1; -1)\), уравнение \(xy = 6\) — гиперболу \(y = \frac{6}{x}\) (при \(x = 0\) левая часть равна нулю, а не 6, поэтому \(x \ne 0\)). Уравнение \(x = 4\) тоже можно считать уравнением с двумя переменными: переменная \(y\) в него не входит и может быть любой, поэтому его график — прямая, параллельная оси ординат; графиком функции такая прямая не является.

3. Уравнение окружности и выделение полных квадратов. Окружность с центром \((a; b)\) и радиусом \(r\) — множество точек, удалённых от центра на расстояние \(r\). По формуле расстояния между точками она задаётся уравнением \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Если уравнение записано иначе, в нём выделяют полные квадраты: уравнение \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) можно записать как \((x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 25\), то есть \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\), — это окружность с центром \((3; -2)\) и радиусом 5. Уравнение \((x - a)^2 + (y - b)^2 = c\) задаёт окружность только при \(c > 0\): при \(c = 0\) его график — одна точка \((a; b)\), а при \(c < 0\) у него нет решений. Например, уравнение \(x^2 + 2x + y^2 + 5 = 0\) приводится к виду \((x + 1)^2 + y^2 = -4\) и решений не имеет.

4. Уравнения, распадающиеся на множители. Если левую часть уравнения с нулём в правой части удаётся разложить на множители, пользуются тем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Если все множители имеют смысл при любых значениях переменных (например, это многочлены), график уравнения — объединение графиков уравнений, которые получаются приравниванием к нулю каждого множителя. Так, уравнение \(x^2 - y^2 = 0\) записывается в виде \((x - y)(x + y) = 0\), и его график — две прямые \(y = x\) и \(y = -x\). Уравнение \(x^2y - 4y + x^2 - 4 = 0\) группировкой приводится к виду \((x^2 - 4)(y + 1) = 0\); его график состоит из трёх прямых: \(x = -2\), \(x = 2\) и \(y = -1\). Делить обе части уравнения на множитель с переменной можно, только разобрав отдельно случай, когда он равен нулю: иначе решения, при которых он равен нулю, потеряются.

5. Сумма квадратов, модули и решения в целых числах. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому уравнение \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0\) выполняется только при \(x - 1 = 0\) и \(y + 2 = 0\) и имеет единственное решение \((1; -2)\) — его график состоит из одной точки, а уравнение \(x^2 + y^2 + 1 = 0\) решений не имеет. Уравнения с модулями могут задавать ломаные: при \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\) уравнение \(|x| + |y| = 2\) принимает вид \(x + y = 2\) — это отрезок с концами \((2; 0)\) и \((0; 2)\); в остальных четвертях получаются симметричные ему отрезки, и график — квадрат с вершинами \((2; 0)\), \((0; 2)\), \((-2; 0)\), \((0; -2)\). Иногда нужны только решения в целых числах. У уравнения \(xy = 6\) их восемь: \(x\) должно быть делителем числа 6, и получаются пары \((1; 6)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((6; 1)\) и пары \((-1; -6)\), \((-2; -3)\), \((-3; -2)\), \((-6; -1)\).

Резюме: Таким образом, уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечно много решений, а наглядно множество его решений представляет график. Вид уравнения подсказывает способ решения: линейное уравнение \(ax + by = c\), где \(a \ne 0\) или \(b \ne 0\), задаёт прямую, уравнение, из которого выражается \(y\), — график функции, например параболу или гиперболу, уравнение с суммой квадратов переменных после выделения полных квадратов — окружность, точку или пустое множество, а уравнение, левая часть которого раскладывается на множители, — объединение нескольких линий. Сумма квадратов, равная нулю, и модули могут приводить к графикам из отдельных точек и отрезков, а поиск целых решений уравнения \(xy = 6\) сводится к перебору делителей числа 6.