Страница 103 номер 441, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \frac{x+3}{2x-5} > 0, \\ \frac{x-7}{x+1} \le 0. \end{cases}\]
Первое неравенство \(\frac{x + 3}{2x - 5} > 0\). Числитель обращается в нуль при \(x = -3\), знаменатель — при \(x = 2{,}5\). При \(x > 2{,}5\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. Числитель и знаменатель — двучлены первой степени, поэтому при переходе через каждую из точек \(2{,}5\) и \(-3\) знак дроби меняется: на \((-3; 2{,}5)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -3)\) — положительна. Проверка: при \(x = 0\) дробь равна \(\frac{3}{-5} < 0\), при \(x = -4\) — \(\frac{-1}{-13} > 0\).
Неравенству \(> 0\) отвечают промежутки со знаком «+»; неравенство строгое, поэтому число \(-3\) в множество решений не входит, а число \(2{,}5\) не входит, так как при нём знаменатель равен нулю.
Множество решений первого неравенства — \((-\infty; -3) \cup (2{,}5; +\infty)\).
Второе неравенство \(\frac{x - 7}{x + 1} \leqslant 0\). Числитель обращается в нуль при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = -1\). При \(x > 7\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна; при переходе через каждую из точек \(7\) и \(-1\) знак дроби меняется: на \((-1; 7)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -1)\) — положительна. Проверка: при \(x = 0\) дробь равна \(\frac{-7}{1} = -7 < 0\), при \(x = -2\) — \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\).
Неравенству \(\leqslant 0\) отвечают промежуток со знаком «−» и нуль числителя: неравенство нестрогое, поэтому число 7 входит в множество решений, а число \(-1\) не входит, так как при нём знаменатель равен нулю.
Множество решений второго неравенства — промежуток \((-1; 7]\).
Промежуток \((-\infty; -3)\) не имеет общих точек с промежутком \((-1; 7]\), так как \(-3 < -1\); общая часть промежутков \((2{,}5; +\infty)\) и \((-1; 7]\) — промежуток \((2{,}5; 7]\). Значит, множество решений системы — промежуток \((2{,}5; 7]\).
Ответ: \((2{,}5; 7]\).
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \frac{x+3}{2x-5} > 0, \\ \frac{x-7}{x+1} \le 0. \end{cases}\]
Решим каждое неравенство системы методом интервалов.
Первое неравенство \(\frac{x + 3}{2x - 5} > 0\). Числитель обращается в нуль при \(x = -3\), знаменатель — при \(x = 2{,}5\) (из \(2x - 5 = 0\)). При \(x > 2{,}5\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. Числитель и знаменатель — двучлены первой степени, поэтому при переходе через каждую из точек \(2{,}5\) и \(-3\) знак дроби меняется: на промежутке \((-3; 2{,}5)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -3)\) — положительна. Проверка подстановкой: при \(x = 0\) дробь равна \(\frac{3}{-5} < 0\), при \(x = -4\) — \(\frac{-1}{-13} > 0\).
Неравенству \(> 0\) отвечают промежутки со знаком «+». Неравенство строгое, поэтому число \(-3\) в множество решений не входит; число \(2{,}5\) не входит, так как при нём знаменатель равен нулю.
Множество решений первого неравенства — \((-\infty; -3) \cup (2{,}5; +\infty)\).
Второе неравенство \(\frac{x - 7}{x + 1} \leqslant 0\). Числитель обращается в нуль при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = -1\). При \(x > 7\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна; при переходе через каждую из точек \(7\) и \(-1\) знак дроби меняется: на промежутке \((-1; 7)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -1)\) — положительна. Проверка подстановкой: при \(x = 0\) дробь равна \(\frac{-7}{1} = -7 < 0\), при \(x = -2\) — \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\).
Неравенству \(\leqslant 0\) отвечают промежуток со знаком «−» и нуль числителя: неравенство нестрогое, поэтому число 7 входит в множество решений, а число \(-1\) не входит, так как при нём знаменатель равен нулю.
Множество решений второго неравенства — промежуток \((-1; 7]\).
Найдём общую часть множеств решений. Промежуток \((-\infty; -3)\) не имеет общих точек с промежутком \((-1; 7]\), так как \(-3 < -1\). Общая часть промежутков \((2{,}5; +\infty)\) и \((-1; 7]\) — промежуток \((2{,}5; 7]\). Значит, множество решений системы — промежуток \((2{,}5; 7]\).
Ответ: \((2{,}5; 7]\).
