Страница 103 номер 440, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(4\) ч — на столько быстрее одна бригада асфальтирует участок, чем другая
\(24\) ч — время совместной работы
\(5\) участков — заасфальтировано за \(24\) ч совместной работы

Найти: время, за которое может заасфальтировать участок каждая бригада.

Решение:

Пусть первая бригада, работая одна, асфальтирует участок за \(x\) ч, а вторая — за \(y\) ч, причём первая работает на 4 ч быстрее: \(y = x + 4\).

За 1 ч первая бригада асфальтирует \(\frac{1}{x}\) часть участка, вторая — \(\frac{1}{y}\) часть участка, а вместе — \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) участка. За 24 ч совместной работы они заасфальтировали 5 участков: \(24\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 5\). Получаем систему уравнений \[\begin{cases} 24\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 5, \\ y = x + 4. \end{cases}\] Подставим \(x + 4\) вместо \(y\) в первое уравнение системы. Время работы положительно, поэтому \(x > 0\) и \(x + 4 > 0\); умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 4)\): \[\begin{aligned} 24\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4}\right) &= 5; \qquad | \cdot x(x + 4) \\ 24(x + 4 + x) &= 5x(x + 4); \\ 48x + 96 &= 5x^2 + 20x; \\ 5x^2 - 28x - 96 &= 0; \\ D &= (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704; \\ x_1 &= \frac{28 - \sqrt{2704}}{2 \cdot 5} = \frac{28 - 52}{10} = -2{,}4; \\ x_2 &= \frac{28 + \sqrt{2704}}{2 \cdot 5} = \frac{28 + 52}{10} = 8. \end{aligned}\] Соответствующие значения \(y = x + 4\) равны \(-2{,}4 + 4 = 1{,}6\) и \(8 + 4 = 12\). Таким образом, система имеет два решения: \((-2{,}4; 1{,}6)\) и \((8; 12)\).

Бригада не может асфальтировать участок за отрицательное число часов, поэтому подходит только решение \((8; 12)\). Следовательно, первая бригада может заасфальтировать участок за 8 ч, а вторая — за 12 ч.

Проверка: \(12 - 8 = 4\) (ч); за 24 ч первая бригада заасфальтирует \(24 : 8 = 3\) участка, вторая — \(24 : 12 = 2\) участка, вместе \(3 + 2 = 5\) участков.

Ответ: 8 ч; 12 ч.