Страница 103 номер 439, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя графики уравнений \(y=-2-0{,}5(x-4)^2\) и \(y=-x+2\), решите систему уравнений \[\begin{cases} y=-2-0{,}5(x-4)^2, \\ y=-x+2. \end{cases}\]
График уравнения \(y = -2 - 0{,}5(x - 4)^2\), то есть \(y = -0{,}5(x - 4)^2 - 2\), — парабола с вершиной \((4; -2)\), ветви направлены вниз (коэффициент \(-0{,}5\) отрицателен); она получается из параболы \(y = -0{,}5x^2\) сдвигом на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Координаты нескольких её точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline y & -6{,}5 & -4 & -2{,}5 & -2 & -2{,}5 & -4 & -6{,}5 \\ \hline \end{array}\] График уравнения \(y = -x + 2\) — прямая, проходящая через точки \((0; 2)\) и \((2; 0)\).
Графики пересекаются в точках \((4; -2)\) и \((6; -4)\).
При \(x = 4\), \(y = -2\) уравнения превращаются в верные равенства \(-2 = -2 - 0{,}5 \cdot (4 - 4)^2\) и \(-2 = -4 + 2\).
При \(x = 6\), \(y = -4\) уравнения превращаются в верные равенства \(-4 = -2 - 0{,}5 \cdot (6 - 4)^2\) и \(-4 = -6 + 2\).
Других решений нет: после подстановки \(-x + 2\) вместо \(y\) в первое уравнение получается квадратное уравнение относительно \(x\), а оно имеет не больше двух корней.
Ответ: \((4; -2)\); \((6; -4)\).
Используя графики уравнений \(y=-2-0{,}5(x-4)^2\) и \(y=-x+2\), решите систему уравнений \[\begin{cases} y=-2-0{,}5(x-4)^2, \\ y=-x+2. \end{cases}\]
Решим систему графическим способом: построим графики уравнений в одной системе координат, найдём координаты их общих точек и проверим найденные пары подстановкой.
Графиком уравнения \(y = -2 - 0{,}5(x - 4)^2\), то есть \(y = -0{,}5(x - 4)^2 - 2\), является парабола с вершиной в точке \((4; -2)\) и ветвями, направленными вниз (коэффициент \(-0{,}5\) отрицателен). Она получается из параболы \(y = -0{,}5x^2\) сдвигом на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Найдём координаты нескольких её точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline y & -6{,}5 & -4 & -2{,}5 & -2 & -2{,}5 & -4 & -6{,}5 \\ \hline \end{array}\] Графиком уравнения \(y = -x + 2\) является прямая, проходящая через точки \((0; 2)\) и \((2; 0)\).
Графики пересекаются в двух точках: \((4; -2)\) и \((6; -4)\). Проверим, что их координаты являются решениями системы.
При \(x = 4\), \(y = -2\) первое уравнение превращается в верное равенство \(-2 = -2 - 0{,}5 \cdot (4 - 4)^2\), второе — в верное равенство \(-2 = -4 + 2\).
При \(x = 6\), \(y = -4\) первое уравнение превращается в верное равенство \(-4 = -2 - 0{,}5 \cdot (6 - 4)^2\), второе — в верное равенство \(-4 = -6 + 2\).
Парабола и прямая могут иметь не больше двух общих точек: если подставить \(-x + 2\) вместо \(y\) в первое уравнение, получится квадратное уравнение относительно \(x\), а оно имеет не больше двух корней. Значит, других решений у системы нет.
Ответ: \((4; -2)\); \((6; -4)\).
