Страница 103 номер 438, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Изобразите графически множество решений системы неравенств \[\begin{cases} x \ge 2, \\ x+2y>1, \\ y \le 3. \end{cases}\]
Первое неравенство \(x \geqslant 2\). Граница — прямая \(x = 2\), параллельная оси ординат; неравенство нестрогое, поэтому точки этой прямой — его решения. Кроме них, неравенству удовлетворяют все точки с абсциссой больше 2 — они лежат правее прямой \(x = 2\).
Второе неравенство \(x + 2y > 1\). Граница — прямая \(x + 2y = 1\), то есть \(y = \frac{1 - x}{2}\), проходящая через точки \((1; 0)\) и \((3; -1)\); неравенство строгое, поэтому точки этой прямой его решениями не являются.
Для точек \((0; 0)\) и \((0; 1)\): \(0 + 2 \cdot 0 = 0 < 1\), а \(0 + 2 \cdot 1 = 2 > 1\). При \(x = 0\) точка прямой имеет ординату \(0{,}5\), поэтому точка \((0; 1)\) лежит выше прямой, а точка \((0; 0)\) — ниже. Значит, решения второго неравенства — точки, лежащие выше прямой \(x + 2y = 1\).
Третье неравенство \(y \leqslant 3\). Граница — прямая \(y = 3\), параллельная оси абсцисс; неравенство нестрогое, поэтому точки этой прямой — его решения. Кроме них, неравенству удовлетворяют все точки с ординатой меньше 3 — они лежат ниже прямой \(y = 3\).
Прямые \(x = 2\) и \(y = 3\) пересекаются в точке \((2; 3)\): \(2 \geqslant 2\), \(2 + 2 \cdot 3 = 8 > 1\), \(3 \leqslant 3\), — она входит в множество решений системы.
Прямые \(x = 2\) и \(x + 2y = 1\) пересекаются в точке \((2; -0{,}5)\): из \(2 + 2y = 1\) получаем \(y = -0{,}5\). В ней \(x + 2y = 2 + 2 \cdot (-0{,}5) = 1\), и строгое неравенство \(x + 2y > 1\) не выполняется, поэтому точка \((2; -0{,}5)\) выколота.
Прямые \(x + 2y = 1\) и \(y = 3\) пересекаются в точке \((-5; 3)\); её абсцисса меньше 2, поэтому она лежит вне множества решений первого неравенства.
Множество решений системы — часть плоскости, лежащая правее прямой \(x = 2\), ниже прямой \(y = 3\) и выше прямой \(x + 2y = 1\): точки границы на прямых \(x = 2\) и \(y = 3\) (включая точку \((2; 3)\)) в него входят, точки прямой \(x + 2y = 1\) — нет, точка \((2; -0{,}5)\) выколота.
Изобразите графически множество решений системы неравенств \[\begin{cases} x \ge 2, \\ x+2y>1, \\ y \le 3. \end{cases}\]
Решим графически каждое неравенство системы, а затем найдём общие точки полученных множеств решений.
Первое неравенство \(x \geqslant 2\). Граница множества его решений — прямая \(x = 2\), параллельная оси ординат. Неравенство нестрогое, поэтому точки этой прямой являются его решениями. Кроме них, неравенству удовлетворяют все точки, абсцисса которых больше 2, — они лежат правее прямой \(x = 2\).
Второе неравенство \(x + 2y > 1\). Граница — прямая \(x + 2y = 1\), то есть \(y = \frac{1 - x}{2}\); она проходит через точки \((1; 0)\) и \((3; -1)\). Неравенство строгое, поэтому точки прямой \(x + 2y = 1\) его решениями не являются. Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости: в одной из них \(x + 2y > 1\), в другой \(x + 2y < 1\). Рассмотрим точки \((0; 0)\) и \((0; 1)\), не лежащие на прямой: \(0 + 2 \cdot 0 = 0 < 1\), а \(0 + 2 \cdot 1 = 2 > 1\). При \(x = 0\) точка прямой имеет ординату \(0{,}5\), поэтому точка \((0; 1)\) лежит выше прямой, а точка \((0; 0)\) — ниже. Значит, решения второго неравенства — точки, лежащие выше прямой \(x + 2y = 1\).
Третье неравенство \(y \leqslant 3\). Граница — прямая \(y = 3\), параллельная оси абсцисс. Неравенство нестрогое, поэтому точки этой прямой являются его решениями; кроме них, неравенству удовлетворяют все точки, ордината которых меньше 3, — они лежат ниже прямой \(y = 3\).
Общие точки границ. Прямые \(x = 2\) и \(y = 3\) пересекаются в точке \((2; 3)\); её координаты удовлетворяют всем трём неравенствам: \(2 \geqslant 2\), \(2 + 2 \cdot 3 = 8 > 1\), \(3 \leqslant 3\), — поэтому она входит в множество решений системы. Прямые \(x = 2\) и \(x + 2y = 1\) пересекаются в точке \((2; -0{,}5)\): из \(2 + 2y = 1\) получаем \(y = -0{,}5\). В ней \(x + 2y = 2 + 2 \cdot (-0{,}5) = 1\), и строгое неравенство \(x + 2y > 1\) не выполняется, поэтому точка \((2; -0{,}5)\) выколота. Прямые \(x + 2y = 1\) и \(y = 3\) пересекаются в точке \((-5; 3)\); её абсцисса меньше 2, поэтому она лежит вне множества решений первого неравенства.
Множество решений системы — часть плоскости, лежащая правее прямой \(x = 2\), ниже прямой \(y = 3\) и выше прямой \(x + 2y = 1\): точки границы на прямых \(x = 2\) и \(y = 3\) (включая точку \((2; 3)\)) в него входят, точки прямой \(x + 2y = 1\) — нет, точка \((2; -0{,}5)\) выколота.
