Страница 103 номер 435, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему уравнений: а) \[\begin{cases} x-2y=1, \\ x^2-3xy+5y^2=3; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} 3x-4y=6, \\ 9x^2+6xy-18y^2=36. \end{cases}\]
а) Из первого уравнения \(x = 1 + 2y\); подставим \(1 + 2y\) вместо \(x\) во второе уравнение: \[\begin{aligned} (1 + 2y)^2 - 3(1 + 2y)y + 5y^2 &= 3; \\ 1 + 4y + 4y^2 - 3y - 6y^2 + 5y^2 &= 3; \\ 3y^2 + y - 2 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25; \\ y_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = -1; \\ y_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\] При \(y = -1\): \(x = 1 - 2 = -1\).
При \(y = \frac{2}{3}\): \(x = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}\).
Проверка: для пары \((-1; -1)\) получаем \(-1 - 2 \cdot (-1) = 1\) и \((-1)^2 - 3 \cdot (-1) \cdot (-1) + 5 \cdot (-1)^2 = 1 - 3 + 5 = 3\), для пары \(\left(\frac{7}{3}; \frac{2}{3}\right)\) — \(\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} = 1\) и \(\left(\frac{7}{3}\right)^2 - 3 \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} - \frac{42}{9} + \frac{20}{9} = \frac{27}{9} = 3\).
б) Из первого уравнения \(3x = 4y + 6\);
\(9x^2 = (3x)^2\) и \(6xy = 2y \cdot 3x\). Подставим \(4y + 6\) вместо \(3x\):
\[\begin{aligned} (3x)^2 + 2y \cdot 3x - 18y^2 &= 36; \\ (4y + 6)^2 + 2y(4y + 6) - 18y^2 &= 36; \\ 16y^2 + 48y + 36 + 8y^2 + 12y - 18y^2 &= 36; \\ 6y^2 + 60y &= 0; \\ 6y(y + 10) &= 0. \end{aligned}\]
Значит, \(y = 0\) или \(y = -10\).
При \(y = 0\): \(3x = 6\), \(x = 2\).
При \(y = -10\): \(3x = -40 + 6 = -34\), \(x = -\frac{34}{3}\).
Проверка: для пары \((2; 0)\) получаем \(3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 = 6\) и \(9 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 \cdot 0 - 18 \cdot 0^2 = 36\), для пары \(\left(-\frac{34}{3}; -10\right)\) — \(3 \cdot \left(-\frac{34}{3}\right) - 4 \cdot (-10) = -34 + 40 = 6\) и \(9 \cdot \left(-\frac{34}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\frac{34}{3}\right) \cdot (-10) - 18 \cdot (-10)^2 = 1156 + 680 - 1800 = 36\).
Ответ: а) \((-1; -1)\); \(\left(\frac{7}{3}; \frac{2}{3}\right)\); б) \(\left(-\frac{34}{3}; -10\right)\); \((2; 0)\).
Решите систему уравнений: а) \[\begin{cases} x-2y=1, \\ x^2-3xy+5y^2=3; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} 3x-4y=6, \\ 9x^2+6xy-18y^2=36. \end{cases}\]
а) Решим систему уравнений способом подстановки. Из первого уравнения системы выразим \(x\) через \(y\): \(x = 1 + 2y\). Подставим \(1 + 2y\) вместо \(x\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} (1 + 2y)^2 - 3(1 + 2y)y + 5y^2 &= 3; \\ 1 + 4y + 4y^2 - 3y - 6y^2 + 5y^2 &= 3; \\ 3y^2 + y - 2 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25; \\ y_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = -1; \\ y_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\] Найдём значения \(x\) по формуле \(x = 1 + 2y\). При \(y = -1\) получим: \(x = 1 - 2 = -1\). При \(y = \frac{2}{3}\) получим: \(x = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}\).
Проверка: для пары \((-1; -1)\) получаем \(-1 - 2 \cdot (-1) = 1\) и \((-1)^2 - 3 \cdot (-1) \cdot (-1) + 5 \cdot (-1)^2 = 1 - 3 + 5 = 3\), для пары \(\left(\frac{7}{3}; \frac{2}{3}\right)\) — \(\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} = 1\) и \(\left(\frac{7}{3}\right)^2 - 3 \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} - \frac{42}{9} + \frac{20}{9} = \frac{27}{9} = 3\).
б) Решим систему уравнений способом подстановки. Из первого уравнения системы \(3x = 4y + 6\). Второе уравнение запишем через \(3x\): \(9x^2 = (3x)^2\) и \(6xy = 2y \cdot 3x\). Подставим \(4y + 6\) вместо \(3x\): \[\begin{aligned} (3x)^2 + 2y \cdot 3x - 18y^2 &= 36; \\ (4y + 6)^2 + 2y(4y + 6) - 18y^2 &= 36; \\ 16y^2 + 48y + 36 + 8y^2 + 12y - 18y^2 &= 36; \\ 6y^2 + 60y &= 0; \\ 6y(y + 10) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(y = 0\) или \(y = -10\).
Найдём значения \(x\) из равенства \(3x = 4y + 6\). При \(y = 0\) получим: \(3x = 6\), \(x = 2\). При \(y = -10\) получим: \(3x = -40 + 6 = -34\), \(x = -\frac{34}{3}\).
Проверка: для пары \((2; 0)\) получаем \(3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 = 6\) и \(9 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 \cdot 0 - 18 \cdot 0^2 = 36\), для пары \(\left(-\frac{34}{3}; -10\right)\) — \(3 \cdot \left(-\frac{34}{3}\right) - 4 \cdot (-10) = -34 + 40 = 6\) и \(9 \cdot \left(-\frac{34}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\frac{34}{3}\right) \cdot (-10) - 18 \cdot (-10)^2 = 1156 + 680 - 1800 = 36\).
Ответ: а) \((-1; -1)\); \(\left(\frac{7}{3}; \frac{2}{3}\right)\); б) \(\left(-\frac{34}{3}; -10\right)\); \((2; 0)\).
