Страница 102 номер 429, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \((3-x)(2x+1) \ge 0\); б) \(x^2-x-2>0\).
а) \(3 - x = -(x - 3)\); при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -(x - 3)(2x + 1) &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ (x - 3)(2x + 1) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Произведение обращается в нуль при \(x = 3\) и при \(x = -0{,}5\). При \(x > 3\) оба множителя \(x - 3\) и \(2x + 1\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-0{,}5; 3)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -0{,}5)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-0{,}5\) и 3 входят в решение: \([-0{,}5; 3]\).
б) \[\begin{aligned} x^2 - x - 2 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)\), и неравенство принимает вид \((x + 1)(x - 2) > 0\). При \(x > 2\) оба множителя \(x + 1\) и \(x - 2\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1; 2)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому корни \(-1\) и 2 в решение не входят: \((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: а) \([-0{,}5; 3]\); б) \((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \((3-x)(2x+1) \ge 0\); б) \(x^2-x-2>0\).
а) Так как \(3 - x = -(x - 3)\), неравенство можно записать в виде \(-(x - 3)(2x + 1) \geqslant 0\). Умножим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -(x - 3)(2x + 1) &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ (x - 3)(2x + 1) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = 3\) и при \(x = -0{,}5\). При \(x > 3\) оба множителя \(x - 3\) и \(2x + 1\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-0{,}5; 3)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -0{,}5)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-0{,}5\) и 3 входят в решение: \([-0{,}5; 3]\).
б) Найдём корни квадратного трёхчлена \(x^2 - x - 2\): \[\begin{aligned} x^2 - x - 2 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)\), и неравенство принимает вид \((x + 1)(x - 2) > 0\). Решим его методом интервалов. При \(x > 2\) оба множителя \(x + 1\) и \(x - 2\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1; 2)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому корни \(-1\) и 2 в решение не входят: \((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: а) \([-0{,}5; 3]\); б) \((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\).
