Страница 101 номер 427, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(v\) км/ч — скорость первого автомобиля, \(v > 25\)
\((v - 7)\) км/ч — скорость второго автомобиля на первой половине пути
\(42\) км/ч — скорость второго автомобиля на второй половине пути
\(t_1 = t_2\) — автомобили были в пути одинаковое время

Найти: \(v\).

Решение:

Пусть расстояние между пунктами равно \(2s\) км (\(s > 0\)), тогда каждая половина пути равна \(s\) км. Первый автомобиль был в пути \(t_1 = \frac{2s}{v}\) ч, второй — \(t_2 = \frac{s}{v - 7} + \frac{s}{42}\) ч. Время в пути одинаковое, поэтому \(\frac{2s}{v} = \frac{s}{v - 7} + \frac{s}{42}\). Разделим обе части уравнения на положительное число \(s\), а затем умножим на общий знаменатель \(42v(v - 7)\) — он положителен, так как \(v > 25\), а значит, \(v - 7 > 0\): \[\begin{aligned} \frac{2s}{v} &= \frac{s}{v - 7} + \frac{s}{42}; \qquad | : s \\ \frac{2}{v} &= \frac{1}{v - 7} + \frac{1}{42}; \qquad | \cdot 42v(v - 7) \\ 84(v - 7) &= 42v + v(v - 7); \\ 84v - 588 &= v^2 + 35v; \\ v^2 - 49v + 588 &= 0; \\ D &= (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 588 = 2401 - 2352 = 49; \\ v_1 &= \frac{49 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{49 - 7}{2} = 21; \\ v_2 &= \frac{49 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{49 + 7}{2} = 28. \end{aligned}\] По условию скорость первого автомобиля больше 25 км/ч, поэтому \(v = 28\). Проверка: \(\frac{2}{28} = \frac{1}{14}\) и \(\frac{1}{28 - 7} + \frac{1}{42} = \frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}\) — время в пути у автомобилей одинаковое.

Ответ: 28 км/ч.