Страница 101 номер 424, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(v\) км/ч — скорость первого автомобиля
\(27\) км/ч — скорость второго автомобиля на первой половине пути
\((v + 18)\) км/ч — скорость второго автомобиля на второй половине пути
\(t_1 = t_2\) — автомобили были в пути одинаковое время

Найти: \(v\).

Решение:

Пусть расстояние между пунктами равно \(2s\) км (\(s > 0\)), тогда каждая половина пути равна \(s\) км. Первый автомобиль был в пути \(t_1 = \frac{2s}{v}\) ч, второй — \(t_2 = \frac{s}{27} + \frac{s}{v + 18}\) ч. Время в пути одинаковое, поэтому \(\frac{2s}{v} = \frac{s}{27} + \frac{s}{v + 18}\). Разделим обе части уравнения на положительное число \(s\), а затем умножим на общий знаменатель \(27v(v + 18)\) — он положителен, так как скорость \(v\) положительна: \[\begin{aligned} \frac{2s}{v} &= \frac{s}{27} + \frac{s}{v + 18}; \qquad | : s \\ \frac{2}{v} &= \frac{1}{27} + \frac{1}{v + 18}; \qquad | \cdot 27v(v + 18) \\ 54(v + 18) &= v(v + 18) + 27v; \\ 54v + 972 &= v^2 + 45v; \\ v^2 - 9v - 972 &= 0; \\ D &= (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-972) = 81 + 3888 = 3969; \\ v_1 &= \frac{9 - \sqrt{3969}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 63}{2} = -27; \\ v_2 &= \frac{9 + \sqrt{3969}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 63}{2} = 36. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v = 36\). Проверка: \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) и \(\frac{1}{27} + \frac{1}{36 + 18} = \frac{1}{27} + \frac{1}{54} = \frac{3}{54} = \frac{1}{18}\) — время в пути у автомобилей одинаковое.

Ответ: 36 км/ч.