Страница 101 номер 421, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Изобразите решение системы неравенств: а) \[\begin{cases} (x-2)^2+(y+1)^2 \ge 4, \\ x-y>1; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} x^2+y^2 \le 9, \\ x^2+2x+3 \ge y. \end{cases}\]
а) \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\) — окружность с центром \((2; -1)\) и радиусом 2: \(y + 1 = y - (-1)\), \(4 = 2^2\). Неравенству \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 \geqslant 4\) удовлетворяют координаты точек окружности и точек, лежащих вне её; неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
\(x - y > 1\), то есть \(y < x - 1\). Прямая \(y = x - 1\) проходит через точки \((0; -1)\) и \((1; 0)\); неравенству \(y < x - 1\) удовлетворяют координаты точек, лежащих ниже этой прямой. Неравенство строгое, поэтому точки прямой \(x - y = 1\) его решениями не являются.
Общие точки границ — решения системы \[\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4, \\ x - y = 1. \end{cases}\] Из второго уравнения \(y = x - 1\), тогда \(y + 1 = x\): \[\begin{aligned} (x - 2)^2 + x^2 &= 4; \\ x^2 - 4x + 4 + x^2 &= 4; \\ 2x^2 - 4x &= 0; \\ 2x(x - 2) &= 0. \end{aligned}\] \(x = 0\) или \(x = 2\).
При \(x = 0\) получим \(y = 0 - 1 = -1\).
При \(x = 2\) получим \(y = 2 - 1 = 1\).
В точках \((0; -1)\) и \((2; 1)\) разность \(x - y\) равна 1, то есть второе неравенство системы не выполняется, поэтому эти точки в множество решений системы не входят — отметим их выколотыми.
Значит, множество решений системы — точки, лежащие ниже прямой \(x - y = 1\) и не лежащие внутри окружности \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\): дуга окружности, лежащая ниже прямой, входит в множество, кроме своих концов \((0; -1)\) и \((2; 1)\), а точки прямой не входят.
б) \(x^2 + y^2 = 9\) — окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Неравенству \(x^2 + y^2 \leqslant 9\) удовлетворяют координаты точек окружности и точек, лежащих внутри неё; неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
\(x^2 + 2x + 3 \geqslant y\), то есть \(y \leqslant x^2 + 2x + 3\).
\(x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2\). График уравнения \(y = x^2 + 2x + 3\) — парабола с вершиной \((-1; 2)\) и ветвями, направленными вверх; она проходит через точки \((-2; 3)\) и \((0; 3)\).
Неравенству \(y \leqslant x^2 + 2x + 3\) удовлетворяют координаты точек параболы и точек, лежащих ниже неё; неравенство нестрогое, поэтому парабола входит в множество решений второго неравенства.
Обе границы входят в множества решений своих неравенств, поэтому каждая общая точка окружности и параболы является решением системы, и выколотых точек нет. Значит, множество решений системы — точки круга с центром \((0; 0)\) и радиусом 3 (вместе с окружностью), лежащие на параболе \(y = x^2 + 2x + 3\) или ниже неё: от круга отрезана его часть, лежащая выше параболы.
Изобразите решение системы неравенств: а) \[\begin{cases} (x-2)^2+(y+1)^2 \ge 4, \\ x-y>1; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} x^2+y^2 \le 9, \\ x^2+2x+3 \ge y. \end{cases}\]
а) Уравнение \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\) задаёт окружность с центром \((2; -1)\) и радиусом 2: \(y + 1 = y - (-1)\), \(4 = 2^2\). Сумма \((x - 2)^2 + (y + 1)^2\) равна квадрату расстояния от точки \((x; y)\) до центра \((2; -1)\), поэтому неравенству \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 \geqslant 4\) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, расстояние от которых до центра не меньше 2: точек окружности и точек, лежащих вне её. Неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
Неравенство \(x - y > 1\) запишем в виде \(y < x - 1\). График уравнения \(y = x - 1\) — прямая, проходящая через точки \((0; -1)\) и \((1; 0)\). Неравенству \(y < x - 1\) удовлетворяют координаты точек, лежащих ниже этой прямой: ордината такой точки меньше ординаты точки прямой с той же абсциссой. Неравенство строгое, поэтому точки прямой \(x - y = 1\) его решениями не являются.
Найдём общие точки границ — решим систему уравнений \[\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4, \\ x - y = 1. \end{cases}\] Из второго уравнения выразим \(y\) через \(x\): \(y = x - 1\), тогда \(y + 1 = x\). Подставим \(x\) вместо \(y + 1\) в первое уравнение: \[\begin{aligned} (x - 2)^2 + x^2 &= 4; \\ x^2 - 4x + 4 + x^2 &= 4; \\ 2x^2 - 4x &= 0; \\ 2x(x - 2) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(x = 2\). При \(x = 0\) получим \(y = 0 - 1 = -1\), при \(x = 2\) получим \(y = 2 - 1 = 1\). В точках \((0; -1)\) и \((2; 1)\) разность \(x - y\) равна 1, то есть второе неравенство системы не выполняется, поэтому эти точки в множество решений системы не входят — отметим их выколотыми.
Значит, множество решений системы — точки, лежащие ниже прямой \(x - y = 1\) и не лежащие внутри окружности \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\): дуга окружности, лежащая ниже прямой, входит в множество, кроме своих концов \((0; -1)\) и \((2; 1)\), а точки прямой не входят.
б) Уравнение \(x^2 + y^2 = 9\) задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Сумма \(x^2 + y^2\) равна квадрату расстояния от точки \((x; y)\) до начала координат, поэтому неравенству \(x^2 + y^2 \leqslant 9\) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, расстояние от которых до начала координат не больше 3: точек окружности и точек, лежащих внутри неё. Неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
Неравенство \(x^2 + 2x + 3 \geqslant y\) запишем в виде \(y \leqslant x^2 + 2x + 3\). Выделим полный квадрат: \(x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2\). График уравнения \(y = x^2 + 2x + 3\) — парабола с вершиной \((-1; 2)\) и ветвями, направленными вверх; она проходит через точки \((-2; 3)\) и \((0; 3)\). Неравенству \(y \leqslant x^2 + 2x + 3\) удовлетворяют координаты точек параболы и точек, лежащих ниже неё: ордината такой точки меньше ординаты точки параболы с той же абсциссой. Неравенство нестрогое, поэтому парабола входит в множество решений второго неравенства.
Обе границы входят в множества решений своих неравенств, поэтому каждая общая точка окружности и параболы является решением системы, и выколотых точек нет. Значит, множество решений системы — точки круга с центром \((0; 0)\) и радиусом 3 (вместе с окружностью), лежащие на параболе \(y = x^2 + 2x + 3\) или ниже неё: от круга отрезана его часть, лежащая выше параболы.
