Страница 101 номер 420, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Изобразите решение системы неравенств: а) \[\begin{cases} x^2+(y-1)^2 \le 9, \\ x+y<1; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} (x-1)^2+y^2 \ge 1, \\ x^2-1 \le y. \end{cases}\]
а) \(x^2 + (y - 1)^2 = 9\) — окружность с центром \((0; 1)\) и радиусом 3. Неравенству \(x^2 + (y - 1)^2 \leqslant 9\) удовлетворяют координаты точек окружности и точек, лежащих внутри неё; неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
\(x + y < 1\), то есть \(y < 1 - x\). Прямая \(y = 1 - x\) проходит через точки \((0; 1)\) и \((1; 0)\); неравенству \(y < 1 - x\) удовлетворяют координаты точек, лежащих ниже этой прямой. Неравенство строгое, поэтому точки прямой \(x + y = 1\) его решениями не являются.
Прямая \(x + y = 1\) проходит через центр окружности, так как \(0 + 1 = 1\), и делит круг на два полукруга. Общие точки границ — решения системы \[\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 9, \\ x + y = 1. \end{cases}\] Из второго уравнения \(y - 1 = -x\), тогда \[\begin{aligned} x^2 + (-x)^2 &= 9; \\ 2x^2 &= 9; \qquad | : 2 \\ x^2 &= \frac{9}{2}. \end{aligned}\] \(x = -\sqrt{\frac{9}{2}}\) или \(x = \sqrt{\frac{9}{2}}\), где \(\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).
Соответствующие значения \(y = 1 - x\) равны \(1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\) и \(1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\).
В точках \(\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}; 1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}; 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\) сумма \(x + y\) равна 1, то есть второе неравенство системы не выполняется, поэтому эти точки в множество решений системы не входят — отметим их выколотыми.
Значит, множество решений системы — полукруг с центром \((0; 1)\) и радиусом 3, лежащий ниже прямой \(x + y = 1\): его дуга входит в множество, кроме концов, а диаметр, лежащий на прямой, не входит.
б) \((x - 1)^2 + y^2 = 1\) — окружность с центром \((1; 0)\) и радиусом 1. Неравенству \((x - 1)^2 + y^2 \geqslant 1\) удовлетворяют координаты точек окружности и точек, лежащих вне её; неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
\(x^2 - 1 \leqslant y\), то есть \(y \geqslant x^2 - 1\). График уравнения \(y = x^2 - 1\) — парабола с вершиной \((0; -1)\) и ветвями, направленными вверх; она пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \((1; 0)\). Неравенству \(y \geqslant x^2 - 1\) удовлетворяют координаты точек параболы и точек, лежащих выше неё; неравенство нестрогое, поэтому парабола входит в множество решений второго неравенства.
Обе границы входят в множества решений своих неравенств, поэтому каждая общая точка окружности и параболы является решением системы, и выколотых точек нет. Значит, множество решений системы — часть плоскости, лежащая на параболе \(y = x^2 - 1\) и выше неё, из которой удалены точки, лежащие внутри окружности \((x - 1)^2 + y^2 = 1\); граница этого множества (дуга окружности и части параболы) в него входит.
Изобразите решение системы неравенств: а) \[\begin{cases} x^2+(y-1)^2 \le 9, \\ x+y<1; \end{cases}\] б) \[\begin{cases} (x-1)^2+y^2 \ge 1, \\ x^2-1 \le y. \end{cases}\]
а) Уравнение \(x^2 + (y - 1)^2 = 9\) задаёт окружность с центром \((0; 1)\) и радиусом 3. Сумма \(x^2 + (y - 1)^2\) равна квадрату расстояния от точки \((x; y)\) до центра \((0; 1)\), поэтому неравенству \(x^2 + (y - 1)^2 \leqslant 9\) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, расстояние от которых до центра не больше 3: точек окружности и точек, лежащих внутри неё. Неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
Неравенство \(x + y < 1\) запишем в виде \(y < 1 - x\). График уравнения \(y = 1 - x\) — прямая, проходящая через точки \((0; 1)\) и \((1; 0)\). Неравенству \(y < 1 - x\) удовлетворяют координаты точек, лежащих ниже этой прямой: ордината такой точки меньше ординаты точки прямой с той же абсциссой. Неравенство строгое, поэтому точки прямой \(x + y = 1\) его решениями не являются.
Прямая \(x + y = 1\) проходит через центр окружности, так как \(0 + 1 = 1\), и делит круг на два полукруга. Найдём общие точки границ — решим систему уравнений \[\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 9, \\ x + y = 1. \end{cases}\] Из второго уравнения \(y - 1 = -x\). Подставим \(-x\) вместо \(y - 1\) в первое уравнение: \[\begin{aligned} x^2 + (-x)^2 &= 9; \\ 2x^2 &= 9; \qquad | : 2 \\ x^2 &= \frac{9}{2}. \end{aligned}\] Значит, \(x = -\sqrt{\frac{9}{2}}\) или \(x = \sqrt{\frac{9}{2}}\), где \(\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\). Соответствующие значения \(y = 1 - x\) равны \(1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\) и \(1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\). В точках \(\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}; 1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}; 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\) сумма \(x + y\) равна 1, то есть второе неравенство системы не выполняется, поэтому эти точки в множество решений системы не входят — отметим их выколотыми.
Общие точки множеств решений двух неравенств — точки круга, лежащие ниже прямой \(x + y = 1\). Значит, множество решений системы — полукруг с центром \((0; 1)\) и радиусом 3, лежащий ниже прямой \(x + y = 1\): его дуга входит в множество, кроме концов, а диаметр, лежащий на прямой, не входит.
б) Уравнение \((x - 1)^2 + y^2 = 1\) задаёт окружность с центром \((1; 0)\) и радиусом 1. Сумма \((x - 1)^2 + y^2\) равна квадрату расстояния от точки \((x; y)\) до центра \((1; 0)\), поэтому неравенству \((x - 1)^2 + y^2 \geqslant 1\) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, расстояние от которых до центра не меньше 1: точек окружности и точек, лежащих вне её. Неравенство нестрогое, поэтому окружность входит в множество решений первого неравенства.
Неравенство \(x^2 - 1 \leqslant y\) запишем в виде \(y \geqslant x^2 - 1\). График уравнения \(y = x^2 - 1\) — парабола с вершиной \((0; -1)\) и ветвями, направленными вверх; она пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \((1; 0)\). Неравенству \(y \geqslant x^2 - 1\) удовлетворяют координаты точек параболы и точек, лежащих выше неё: ордината такой точки больше ординаты точки параболы с той же абсциссой. Неравенство нестрогое, поэтому парабола входит в множество решений второго неравенства.
Обе границы входят в множества решений своих неравенств, поэтому каждая общая точка окружности и параболы является решением системы, и выколотых точек нет. Значит, множество решений системы — часть плоскости, лежащая на параболе \(y = x^2 - 1\) и выше неё, из которой удалены точки, лежащие внутри окружности \((x - 1)^2 + y^2 = 1\); граница этого множества (дуга окружности и части параболы) в него входит.
