Страница 97 номер 413, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}-5x \le 3, \\ x \le 6a\end{cases}\) имеет единственное решение?
При делении на отрицательное число \(-5\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -5x &\leqslant 3; \qquad | : (-5) \\ x &\geqslant -0{,}6. \end{aligned}\] Решения системы — числа \(x\), для которых \(-0{,}6 \leqslant x \leqslant 6a\).
При \(6a > -0{,}6\), то есть при \(a > -0{,}1\), множество решений системы — отрезок \([-0{,}6; 6a]\); в нём бесконечно много чисел, поэтому решение не единственно.
При \(6a < -0{,}6\), то есть при \(a < -0{,}1\), решений нет: для любого \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x \leqslant 6a < -0{,}6\), и неравенство \(x \geqslant -0{,}6\) для него неверно.
При \(6a = -0{,}6\), то есть при \(a = -0{,}1\), система примет вид \(\begin{cases} x \geqslant -0{,}6, \\ x \leqslant -0{,}6, \end{cases}\) и её единственное решение — число \(-0{,}6\).
Ответ: \(a = -0{,}1\).
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}-5x \le 3, \\ x \le 6a\end{cases}\) имеет единственное решение?
Решим первое неравенство системы: разделим обе его части на отрицательное число \(-5\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -5x &\leqslant 3; \qquad | : (-5) \\ x &\geqslant -0{,}6. \end{aligned}\] Множество решений первого неравенства — все числа, большие или равные \(-0{,}6\), множество решений второго — все числа, меньшие или равные \(6a\). Решения системы — числа \(x\), для которых \(-0{,}6 \leqslant x \leqslant 6a\).
При \(6a > -0{,}6\), то есть при \(a > -0{,}1\), множеством решений системы является отрезок \([-0{,}6; 6a]\). В нём бесконечно много чисел, поэтому решение не единственно.
При \(6a < -0{,}6\), то есть при \(a < -0{,}1\), для любого числа \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x \leqslant 6a < -0{,}6\), поэтому неравенство \(x \geqslant -0{,}6\) для него неверно. Следовательно, при \(a < -0{,}1\) система не имеет решений.
При \(6a = -0{,}6\), то есть при \(a = -0{,}1\), система примет вид \(\begin{cases} x \geqslant -0{,}6, \\ x \leqslant -0{,}6, \end{cases}\) и её единственное решение — число \(-0{,}6\).
Значит, система имеет единственное решение при \(a = -0{,}1\).
Ответ: \(a = -0{,}1\).
