Страница 97 номер 412, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}3x - 9a \le 0, \\ x \ge 4\end{cases}\) не имеет решений?
\[\begin{aligned} 3x - 9a &\leqslant 0; \\ 3x &\leqslant 9a; \qquad | : 3 \\ x &\leqslant 3a. \end{aligned}\] Решения системы — числа \(x\), для которых \(4 \leqslant x \leqslant 3a\).
При \(3a > 4\), то есть при \(a > \frac{4}{3}\), множество решений системы — отрезок \([4; 3a]\).
При \(3a = 4\), то есть при \(a = \frac{4}{3}\), система примет вид \(\begin{cases} x \leqslant 4, \\ x \geqslant 4, \end{cases}\) и имеет единственное решение — число 4.
При \(3a < 4\), то есть при \(a < \frac{4}{3}\), решений нет: для любого \(x\), удовлетворяющего первому неравенству, получаем \(x \leqslant 3a < 4\), и второе неравенство \(x \geqslant 4\) для него неверно.
Ответ: \(a < \frac{4}{3}\).
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}3x - 9a \le 0, \\ x \ge 4\end{cases}\) не имеет решений?
Решим первое неравенство системы: перенесём \(-9a\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 3, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 3x - 9a &\leqslant 0; \\ 3x &\leqslant 9a; \qquad | : 3 \\ x &\leqslant 3a. \end{aligned}\] Множество решений первого неравенства — луч \((-\infty; 3a]\), множество решений второго — луч \([4; +\infty)\). Решения системы — числа \(x\), для которых \(4 \leqslant x \leqslant 3a\).
При \(3a > 4\), то есть при \(a > \frac{4}{3}\), множеством решений системы является отрезок \([4; 3a]\).
При \(3a = 4\), то есть при \(a = \frac{4}{3}\), система примет вид \(\begin{cases} x \leqslant 4, \\ x \geqslant 4, \end{cases}\) и имеет единственное решение — число 4.
При \(3a < 4\), то есть при \(a < \frac{4}{3}\), для любого числа \(x\), удовлетворяющего первому неравенству, получаем \(x \leqslant 3a < 4\), поэтому второе неравенство \(x \geqslant 4\) для него неверно. Следовательно, при \(a < \frac{4}{3}\) система не имеет решений.
Значит, система не имеет решений при \(a < \frac{4}{3}\).
Ответ: \(a < \frac{4}{3}\).
