Страница 97 номер 411, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}x < -6, \\ -2x + 3 \le 4a\end{cases}\) имеет хотя бы одно решение?
При делении на отрицательное число \(-2\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -2x + 3 &\leqslant 4a; \\ -2x &\leqslant 4a - 3; \qquad | : (-2) \\ x &\geqslant \frac{3 - 4a}{2}. \end{aligned}\] Система примет вид \[\begin{cases} x < -6, \\ x \geqslant \frac{3 - 4a}{2}. \end{cases}\] Она имеет решения, когда \(\frac{3 - 4a}{2} < -6\). При делении на отрицательное число \(-4\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{3 - 4a}{2} &< -6; \qquad | \cdot 2 \\ 3 - 4a &< -12; \\ -4a &< -15; \qquad | : (-4) \\ a &> 3{,}75. \end{aligned}\] При \(a > 3{,}75\) множество решений системы — полуинтервал \(\left[\frac{3 - 4a}{2}; -6\right)\).
При \(a \leqslant 3{,}75\) решений нет: число \(\frac{3 - 4a}{2}\) не меньше \(-6\), поэтому для любого \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x \geqslant \frac{3 - 4a}{2} \geqslant -6\), и первое неравенство \(x < -6\) для него неверно.
Ответ: \(a > 3{,}75\).
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}x < -6, \\ -2x + 3 \le 4a\end{cases}\) имеет хотя бы одно решение?
Решим второе неравенство системы: перенесём 3 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на отрицательное число \(-2\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -2x + 3 &\leqslant 4a; \\ -2x &\leqslant 4a - 3; \qquad | : (-2) \\ x &\geqslant \frac{3 - 4a}{2}. \end{aligned}\] Система примет вид \[\begin{cases} x < -6, \\ x \geqslant \frac{3 - 4a}{2}. \end{cases}\] Её решения — числа, которые не меньше числа \(\frac{3 - 4a}{2}\) и меньше \(-6\). Найдём, при каких значениях \(a\) число \(\frac{3 - 4a}{2}\) меньше \(-6\). Умножим обе части неравенства на 2, перенесём 3 в правую часть и разделим обе части на отрицательное число \(-4\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{3 - 4a}{2} &< -6; \qquad | \cdot 2 \\ 3 - 4a &< -12; \\ -4a &< -15; \qquad | : (-4) \\ a &> 3{,}75. \end{aligned}\] При \(a > 3{,}75\) множеством решений системы является полуинтервал \(\left[\frac{3 - 4a}{2}; -6\right)\), и система имеет решения.
При \(a \leqslant 3{,}75\) число \(\frac{3 - 4a}{2}\) не меньше \(-6\), поэтому для любого числа \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x \geqslant \frac{3 - 4a}{2} \geqslant -6\), и первое неравенство \(x < -6\) для него неверно. Следовательно, при \(a \leqslant 3{,}75\) система не имеет решений.
Значит, система имеет хотя бы одно решение при \(a > 3{,}75\).
Ответ: \(a > 3{,}75\).
