Страница 97 номер 410, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Существует ли значение параметра \(a\), при котором система неравенств \(\begin{cases}x \le 1, \\ a < x\end{cases}\) имеет единственное решение?
При \(a < 1\) множество решений системы — полуинтервал \((a; 1]\); в нём бесконечно много чисел, поэтому решение не единственно.
При \(a \geqslant 1\) решений нет: для любого \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x > a \geqslant 1\), и первое неравенство \(x \leqslant 1\) для него неверно. В частности, при \(a = 1\) ни одно число не может быть одновременно больше 1 и не больше 1.
Других случаев нет: при любом значении \(a\) система либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений. Значит, значения параметра, при котором система имеет единственное решение, не существует.
Ответ: не существует.
Существует ли значение параметра \(a\), при котором система неравенств \(\begin{cases}x \le 1, \\ a < x\end{cases}\) имеет единственное решение?
Второе неравенство системы \(a < x\) означает, что \(x > a\). Множество решений первого неравенства — луч \((-\infty; 1]\), множество решений второго — луч \((a; +\infty)\). Решения системы — числа, которые больше \(a\) и не больше 1.
При \(a < 1\) множеством решений системы является полуинтервал \((a; 1]\). В нём бесконечно много чисел, поэтому решение не единственно.
При \(a \geqslant 1\) для любого числа \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x > a \geqslant 1\), поэтому первое неравенство \(x \leqslant 1\) для него неверно. Следовательно, при \(a \geqslant 1\) система не имеет решений. В частности, при \(a = 1\) решений нет, потому что ни одно число не может быть одновременно больше 1 и не больше 1.
Других случаев нет: при любом значении \(a\) система либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений. Значит, значения параметра, при котором система имеет единственное решение, не существует.
Ответ: не существует.
