Страница 97 номер 409, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}2x \le a, \\ x \ge -1,\end{cases}\) имеет единственное решение?
\[\begin{aligned} 2x &\leqslant a; \qquad | : 2 \\ x &\leqslant \frac{a}{2}. \end{aligned}\] Решения системы — числа \(x\), для которых \(-1 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}\).
При \(\frac{a}{2} > -1\), то есть при \(a > -2\), множество решений системы — отрезок \(\left[-1; \frac{a}{2}\right]\); в нём бесконечно много чисел, поэтому решение не единственно.
При \(\frac{a}{2} < -1\), то есть при \(a < -2\), решений нет: для любого \(x\), удовлетворяющего первому неравенству, получаем \(x \leqslant \frac{a}{2} < -1\), и второе неравенство \(x \geqslant -1\) для него неверно.
При \(\frac{a}{2} = -1\), то есть при \(a = -2\), система примет вид \(\begin{cases} x \leqslant -1, \\ x \geqslant -1, \end{cases}\) и её единственное решение — число \(-1\).
Ответ: \(a = -2\).
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}2x \le a, \\ x \ge -1,\end{cases}\) имеет единственное решение?
Решим первое неравенство системы: разделим обе его части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 2x &\leqslant a; \qquad | : 2 \\ x &\leqslant \frac{a}{2}. \end{aligned}\] Множество решений первого неравенства — все числа, меньшие или равные \(\frac{a}{2}\), множество решений второго — все числа, большие или равные \(-1\). Решения системы — числа \(x\), для которых \(-1 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}\).
При \(\frac{a}{2} > -1\), то есть при \(a > -2\), множеством решений системы является отрезок \(\left[-1; \frac{a}{2}\right]\). В нём бесконечно много чисел, поэтому решение не единственно.
При \(\frac{a}{2} < -1\), то есть при \(a < -2\), для любого числа \(x\), удовлетворяющего первому неравенству, получаем \(x \leqslant \frac{a}{2} < -1\), поэтому второе неравенство \(x \geqslant -1\) для него неверно. Следовательно, при \(a < -2\) система не имеет решений.
При \(\frac{a}{2} = -1\), то есть при \(a = -2\), система примет вид \(\begin{cases} x \leqslant -1, \\ x \geqslant -1, \end{cases}\) и её единственное решение — число \(-1\).
Значит, система имеет единственное решение при \(a = -2\).
Ответ: \(a = -2\).
