Страница 97 номер 408, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}x \ge a, \\ -x > 2\end{cases}\) не имеет решений?
При умножении на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -x &> 2; \qquad | \cdot (-1) \\ x &< -2. \end{aligned}\] При \(a < -2\) множество решений системы — полуинтервал \([a; -2)\).
При \(a \geqslant -2\) решений нет: для любого \(x\), удовлетворяющего первому неравенству, получаем \(x \geqslant a \geqslant -2\), и неравенство \(x < -2\) для него неверно. В частности, при \(a = -2\) ни одно число не может быть одновременно не меньше \(-2\) и меньше \(-2\).
Ответ: \(a \geqslant -2\).
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(\begin{cases}x \ge a, \\ -x > 2\end{cases}\) не имеет решений?
Решим второе неравенство системы: умножим обе его части на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -x &> 2; \qquad | \cdot (-1) \\ x &< -2. \end{aligned}\] Множество решений первого неравенства — луч \([a; +\infty)\), множество решений второго — луч \((-\infty; -2)\). Решения системы — числа, которые не меньше \(a\) и меньше \(-2\).
При \(a < -2\) множеством решений системы является полуинтервал \([a; -2)\), и система имеет решения.
При \(a \geqslant -2\) для любого числа \(x\), удовлетворяющего первому неравенству, получаем \(x \geqslant a \geqslant -2\), поэтому неравенство \(x < -2\) для него неверно. Следовательно, при \(a \geqslant -2\) система не имеет решений. В частности, при \(a = -2\) решений нет, потому что ни одно число не может быть одновременно не меньше \(-2\) и меньше \(-2\).
Значит, система не имеет решений при \(a \geqslant -2\).
Ответ: \(a \geqslant -2\).
