Страница 97 номер 407, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств имеет хотя бы одно решение: а) \(\begin{cases}x > -2, \\ x < a;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x \le 4, \\ 2x - 1 > a?\end{cases}\)
а) При \(a > -2\) множество решений системы — интервал \((-2; a)\).
При \(a \leqslant -2\) решений нет: для любого \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x < a \leqslant -2\), и первое неравенство \(x > -2\) для него неверно.
Значит, система имеет хотя бы одно решение при \(a > -2\).
б) \[\begin{aligned} 2x - 1 &> a; \\ 2x &> a + 1; \qquad | : 2 \\ x &> \frac{a + 1}{2}. \end{aligned}\] Система примет вид \[\begin{cases} x \leqslant 4, \\ x > \frac{a + 1}{2}. \end{cases}\] Она имеет решения, когда \(\frac{a + 1}{2} < 4\): \[\begin{aligned} \frac{a + 1}{2} &< 4; \qquad | \cdot 2 \\ a + 1 &< 8; \\ a &< 7. \end{aligned}\] При \(a < 7\) множество решений системы — полуинтервал \(\left(\frac{a + 1}{2}; 4\right]\).
При \(a \geqslant 7\) решений нет: число \(\frac{a + 1}{2}\) не меньше 4, поэтому для любого \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x > \frac{a + 1}{2} \geqslant 4\), и первое неравенство \(x \leqslant 4\) для него неверно.
Значит, система имеет хотя бы одно решение при \(a < 7\).
Ответ: а) \(a > -2\); б) \(a < 7\).
При каких значениях параметра \(a\) система неравенств имеет хотя бы одно решение: а) \(\begin{cases}x > -2, \\ x < a;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x \le 4, \\ 2x - 1 > a?\end{cases}\)
а) Множество решений первого неравенства — луч \((-2; +\infty)\), множество решений второго — луч \((-\infty; a)\). Решения системы — числа, которые принадлежат обоим лучам, то есть больше \(-2\) и меньше \(a\).
При \(a > -2\) множеством решений системы является интервал \((-2; a)\), и система имеет решения.
При \(a \leqslant -2\) для любого числа \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x < a \leqslant -2\), поэтому первое неравенство \(x > -2\) для него неверно. Следовательно, при \(a \leqslant -2\) система не имеет решений.
Значит, система имеет хотя бы одно решение при \(a > -2\).
б) Решим второе неравенство системы: перенесём \(-1\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 2x - 1 &> a; \\ 2x &> a + 1; \qquad | : 2 \\ x &> \frac{a + 1}{2}. \end{aligned}\] Система примет вид \[\begin{cases} x \leqslant 4, \\ x > \frac{a + 1}{2}. \end{cases}\] Её решения — числа, которые больше числа \(\frac{a + 1}{2}\) и не больше 4. Найдём, при каких значениях \(a\) число \(\frac{a + 1}{2}\) меньше 4: \[\begin{aligned} \frac{a + 1}{2} &< 4; \qquad | \cdot 2 \\ a + 1 &< 8; \\ a &< 7. \end{aligned}\] При \(a < 7\) множеством решений системы является полуинтервал \(\left(\frac{a + 1}{2}; 4\right]\), и система имеет решения.
При \(a \geqslant 7\) число \(\frac{a + 1}{2}\) не меньше 4, поэтому для любого числа \(x\), удовлетворяющего второму неравенству, получаем \(x > \frac{a + 1}{2} \geqslant 4\), и первое неравенство \(x \leqslant 4\) для него неверно. Следовательно, при \(a \geqslant 7\) система не имеет решений.
Значит, система имеет хотя бы одно решение при \(a < 7\).
Ответ: а) \(a > -2\); б) \(a < 7\).
