Страница 95 номер 404, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сравните числа: а) \(\sqrt{\frac{3}{4}}\) и \(\sqrt{\frac{8}{9}}\); б) \(\sqrt{2} + \sqrt{29}\) и \(\sqrt{34}\); в) \(\sqrt{43} - \sqrt{22}\) и \(\sqrt{42} - \sqrt{23}\).
а) \(\frac{3}{4} = \frac{27}{36}\), \(\frac{8}{9} = \frac{32}{36}\).
\(27 < 32\), поэтому \(\frac{3}{4} < \frac{8}{9}\) и \(\sqrt{\frac{3}{4}} < \sqrt{\frac{8}{9}}\).
б) Значения обоих выражений положительны, числа \(2\sqrt{58}\) и 3 — тоже; неизвестный знак неравенства обозначим через \(\vee\): \[\begin{aligned} \sqrt{2} + \sqrt{29} &\vee \sqrt{34}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 2 + 2\sqrt{58} + 29 &\vee 34; \qquad | -31 \\ 2\sqrt{58} &\vee 3; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 232 &\vee 9. \end{aligned}\] Здесь \((\sqrt{2} + \sqrt{29})^2 = 2 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{29} + 29 = 2 + 2\sqrt{58} + 29\), \((2\sqrt{58})^2 = 4 \cdot 58 = 232\), \(3^2 = 9\). Так как \(232 > 9\), во всех строках вместо знака \(\vee\) стоит знак \(>\). Значит, \(\sqrt{2} + \sqrt{29} > \sqrt{34}\).
в) Так как \(43 > 42\), то \(\sqrt{43} > \sqrt{42}\).
Так как \(22 < 23\), то \(\sqrt{22} < \sqrt{23}\); при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный:
\[\begin{aligned} \sqrt{22} &< \sqrt{23}; \qquad | \cdot (-1) \\ -\sqrt{22} &> -\sqrt{23}. \end{aligned}\]
Складывая неравенства \(\sqrt{43} > \sqrt{42}\) и \(-\sqrt{22} > -\sqrt{23}\), получаем \(\sqrt{43} - \sqrt{22} > \sqrt{42} - \sqrt{23}\).
Ответ: а) \(\sqrt{\frac{3}{4}} < \sqrt{\frac{8}{9}}\); б) \(\sqrt{2} + \sqrt{29} > \sqrt{34}\); в) \(\sqrt{43} - \sqrt{22} > \sqrt{42} - \sqrt{23}\).
Сравните числа: а) \(\sqrt{\frac{3}{4}}\) и \(\sqrt{\frac{8}{9}}\); б) \(\sqrt{2} + \sqrt{29}\) и \(\sqrt{34}\); в) \(\sqrt{43} - \sqrt{22}\) и \(\sqrt{42} - \sqrt{23}\).
а) Сравним подкоренные числа, приведя дроби к общему знаменателю 36: \(\frac{3}{4} = \frac{27}{36}\), \(\frac{8}{9} = \frac{32}{36}\). Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель; \(27 < 32\), поэтому \(\frac{3}{4} < \frac{8}{9}\). Для неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) неравенство \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) верно тогда и только тогда, когда \(a < b\), поэтому \(\sqrt{\frac{3}{4}} < \sqrt{\frac{8}{9}}\).
б) Значения обоих выражений положительны. Возведение в квадрат обеих частей неравенства, значения которых неотрицательны, — равносильное преобразование: знак неравенства при этом сохраняется. Обозначим неизвестный знак неравенства через \(\vee\), возведём обе части в квадрат, вычтем из обеих частей 31 и снова возведём обе части в квадрат (числа \(2\sqrt{58}\) и 3 положительны): \[\begin{aligned} \sqrt{2} + \sqrt{29} &\vee \sqrt{34}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 2 + 2\sqrt{58} + 29 &\vee 34; \qquad | -31 \\ 2\sqrt{58} &\vee 3; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 232 &\vee 9. \end{aligned}\] Здесь \((\sqrt{2} + \sqrt{29})^2 = 2 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{29} + 29 = 2 + 2\sqrt{58} + 29\), \((2\sqrt{58})^2 = 4 \cdot 58 = 232\), \(3^2 = 9\). Так как \(232 > 9\), во всех строках вместо знака \(\vee\) стоит знак \(>\). Значит, \(\sqrt{2} + \sqrt{29} > \sqrt{34}\).
в) Так как \(43 > 42\), то \(\sqrt{43} > \sqrt{42}\). Так как \(22 < 23\), то \(\sqrt{22} < \sqrt{23}\); умножим обе части этого неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} \sqrt{22} &< \sqrt{23}; \qquad | \cdot (-1) \\ -\sqrt{22} &> -\sqrt{23}. \end{aligned}\] Неравенства одного знака можно складывать. Сложим неравенства \(\sqrt{43} > \sqrt{42}\) и \(-\sqrt{22} > -\sqrt{23}\): \(\sqrt{43} - \sqrt{22} > \sqrt{42} - \sqrt{23}\).
Ответ: а) \(\sqrt{\frac{3}{4}} < \sqrt{\frac{8}{9}}\); б) \(\sqrt{2} + \sqrt{29} > \sqrt{34}\); в) \(\sqrt{43} - \sqrt{22} > \sqrt{42} - \sqrt{23}\).
