Страница 95 номер 400, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сравните числа: а) \(\sqrt{94}\) и \(3\sqrt{10}\); б) \(\sqrt{13} + \sqrt{7}\) и \(\sqrt{39}\); в) \(\sqrt{22} - \sqrt{19}\) и \(\sqrt{13} - \sqrt{10}\).
а) \(3\sqrt{10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{90}\).
Так как \(94 > 90\), то \(\sqrt{94} > \sqrt{90}\), то есть \(\sqrt{94} > 3\sqrt{10}\).
б) Значения обоих выражений положительны, числа \(2\sqrt{91}\) и 19 — тоже; неизвестный знак неравенства обозначим через \(\vee\): \[\begin{aligned} \sqrt{13} + \sqrt{7} &\vee \sqrt{39}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 13 + 2\sqrt{91} + 7 &\vee 39; \qquad | -20 \\ 2\sqrt{91} &\vee 19; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 364 &\vee 361. \end{aligned}\] Здесь \((\sqrt{13} + \sqrt{7})^2 = 13 + 2\sqrt{13} \cdot \sqrt{7} + 7 = 13 + 2\sqrt{91} + 7\), \((2\sqrt{91})^2 = 4 \cdot 91 = 364\), \(19^2 = 361\). Так как \(364 > 361\), во всех строках вместо знака \(\vee\) стоит знак \(>\). Значит, \(\sqrt{13} + \sqrt{7} > \sqrt{39}\).
в) После прибавления \(\sqrt{19} + \sqrt{10}\) к обеим частям в них окажутся суммы положительных чисел: \[\begin{aligned} \sqrt{22} - \sqrt{19} &\vee \sqrt{13} - \sqrt{10}; \qquad | +\sqrt{19} + \sqrt{10} \\ \sqrt{22} + \sqrt{10} &\vee \sqrt{13} + \sqrt{19}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 22 + 2\sqrt{220} + 10 &\vee 13 + 2\sqrt{247} + 19; \qquad | -32 \\ 2\sqrt{220} &\vee 2\sqrt{247}. \end{aligned}\] Здесь \(\sqrt{22} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{220}\), \(\sqrt{13} \cdot \sqrt{19} = \sqrt{247}\). Так как \(220 < 247\), то \(\sqrt{220} < \sqrt{247}\) и \(2\sqrt{220} < 2\sqrt{247}\). Во всех строках вместо знака \(\vee\) стоит знак \(<\), значит, \(\sqrt{22} - \sqrt{19} < \sqrt{13} - \sqrt{10}\).
Ответ: а) \(\sqrt{94} > 3\sqrt{10}\); б) \(\sqrt{13} + \sqrt{7} > \sqrt{39}\); в) \(\sqrt{22} - \sqrt{19} < \sqrt{13} - \sqrt{10}\).
Сравните числа: а) \(\sqrt{94}\) и \(3\sqrt{10}\); б) \(\sqrt{13} + \sqrt{7}\) и \(\sqrt{39}\); в) \(\sqrt{22} - \sqrt{19}\) и \(\sqrt{13} - \sqrt{10}\).
а) Внесём множитель под знак корня: \(3\sqrt{10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{90}\). Для неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) неравенство \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\) верно тогда и только тогда, когда \(a > b\). Так как \(94 > 90\), то \(\sqrt{94} > \sqrt{90}\), то есть \(\sqrt{94} > 3\sqrt{10}\).
б) Значения обоих выражений положительны. Возведение в квадрат обеих частей неравенства, значения которых неотрицательны, — равносильное преобразование: знак неравенства при этом сохраняется. Обозначим неизвестный знак неравенства через \(\vee\), возведём обе части в квадрат, вычтем из обеих частей 20 и снова возведём обе части в квадрат (числа \(2\sqrt{91}\) и 19 положительны): \[\begin{aligned} \sqrt{13} + \sqrt{7} &\vee \sqrt{39}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 13 + 2\sqrt{91} + 7 &\vee 39; \qquad | -20 \\ 2\sqrt{91} &\vee 19; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 364 &\vee 361. \end{aligned}\] Здесь \((\sqrt{13} + \sqrt{7})^2 = 13 + 2\sqrt{13} \cdot \sqrt{7} + 7 = 13 + 2\sqrt{91} + 7\), \((2\sqrt{91})^2 = 4 \cdot 91 = 364\), \(19^2 = 361\). Так как \(364 > 361\), во всех строках вместо знака \(\vee\) стоит знак \(>\). Значит, \(\sqrt{13} + \sqrt{7} > \sqrt{39}\).
в) Прибавим к обеим частям сумму \(\sqrt{19} + \sqrt{10}\) — знак неравенства при этом не меняется, а в обеих частях окажутся суммы положительных чисел. Затем возведём обе части в квадрат и вычтем из обеих частей 32: \[\begin{aligned} \sqrt{22} - \sqrt{19} &\vee \sqrt{13} - \sqrt{10}; \qquad | +\sqrt{19} + \sqrt{10} \\ \sqrt{22} + \sqrt{10} &\vee \sqrt{13} + \sqrt{19}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ 22 + 2\sqrt{220} + 10 &\vee 13 + 2\sqrt{247} + 19; \qquad | -32 \\ 2\sqrt{220} &\vee 2\sqrt{247}. \end{aligned}\] Здесь \(\sqrt{22} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{220}\), \(\sqrt{13} \cdot \sqrt{19} = \sqrt{247}\). Так как \(220 < 247\), то \(\sqrt{220} < \sqrt{247}\) и \(2\sqrt{220} < 2\sqrt{247}\). Во всех строках вместо знака \(\vee\) стоит знак \(<\), значит, \(\sqrt{22} - \sqrt{19} < \sqrt{13} - \sqrt{10}\).
Ответ: а) \(\sqrt{94} > 3\sqrt{10}\); б) \(\sqrt{13} + \sqrt{7} > \sqrt{39}\); в) \(\sqrt{22} - \sqrt{19} < \sqrt{13} - \sqrt{10}\).
